包絡線
包絡線（ほうらくせん、英語: envelope）とは、数学における概念の一つで、ある規則に従って変化する多数の曲線（「曲線族」と呼ばれます）が描く輪郭や境界線のような役割を果たす曲線のことを指します。
具体的には、与えられた曲線族のそれぞれの曲線と必ず接点を共有し、かつその接点が連続的につながってできる曲線のことを言います。言い換えれば、包絡線は、その曲線族全体を「包み込む」ように存在しているのです。
この数学的な概念は、私たちの身の回りでも利用されています。最も分かりやすい例の一つが、AMラジオ放送です。
AM（振幅変調）ラジオの電波は、音声信号を搬送波と呼ばれる特定の周波数の波に乗せて送信されます。このとき、音声信号の大きさに応じて搬送波の振幅（波の高さ）が変化します。
ラジオ受信機では、この振幅の変動を取り出すことで元の音声信号を復元しますが、この振幅の変動の軌跡こそが、数学的な意味での包絡線にあたるのです。音声信号が搬送波の「包絡線」として表現され、この包絡線を取り出す技術は包絡線検波と呼ばれます。
数学的には、包絡線は次のような方法で求めることができます。
$n$次元ユークリッド空間 $R^n$ 上にある、媒介変数 $t$（実数）によって決まる曲線族を考えます。それぞれの曲線は、ある方程式 $F_t(x_1, \dots, x_n) = 0$ で表されるとします。
この曲線族の包絡線上の点 $(x_1, \dots, x_n)$ は、ある特定の媒介変数 $t$ に対する曲線 $F_t = 0$ 上にあり、かつその点で包絡線と曲線 $F_t$ が接するという条件を満たします。
この条件は、連立方程式として表現されます。
$$
\begin{cases}
F_t(x_1, \dots, x_n) = 0 \\
\frac{\partial}{\partial t} F_t(x_1, \dots, x_n) = 0
\end{cases}
$$
上の式は、その点が曲線 $F_t=0$ 上にあることを示し、下の式は、その点が $t$ の変化に対して「特異な」振る舞いをする点、すなわち包絡線との接点となる候補であることを示しています。ここで $\frac{\partial F_t}{\partial t}$ は、$F_t$ を $t$ について偏微分したものです。
この連立方程式から媒介変数 $t$ を消去することで得られる方程式 $\varphi(x_1, \dots, x_n) = 0$ が、包絡線の式となります。
簡単な例として、平面上の直線の族
$L_t: y = x \sin t + \cos t$
を考えてみましょう。ここで $t$ は媒介変数です。この直線族の包絡線を求めるために、上記の連立方程式を作ります。まず、方程式を $F_t(x, y) = x \sin t - y + \cos t = 0$ の形に整理します。
次に、$F_t$ を $t$ で偏微分します。
$\frac{\partial}{\partial t} (x \sin t - y + \cos t) = x \cos t - \sin t$
したがって、包絡線を求めるための連立方程式は以下のようになります。
$$
\begin{cases}
x \sin t - y + \cos t = 0 \\
x \cos t - \sin t = 0
\end{cases}
$$
この連立方程式から $t$ を消去します。例えば、2番目の式から $x \cos t = \sin t$ となるので、$\sin t = x \cos t$ を1番目の式に代入すると、$x(x \cos t) - y + \cos t = 0$ となります。さらに、2番目の式から $\cos t = \frac{\sin t}{x}$ として、これを $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ の関係式に代入するか、あるいは連立方程式を $\sin t$ と $\cos t$ について解き、$x$ と $y$ で表された $\sin t$ と $\cos t$ をこの関係式に代入するなどの方法で $t$ を消去すると、
$x^2 - y^2 + 1 = 0$
という式が得られます。
これは双曲線の漸近線が $y = \pm x$ となる、$\frac{y^2}{1^2} - \frac{x^2}{1^2} = 1$ を少し変形した形の双曲線の式です。
このように、特定の直線族の包絡線として双曲線が現れることが分かりました。
包絡線を理解するためには、曲線そのものの概念や、曲線を表現するための媒介変数の知識が役立ちます。また、応用例として挙げた包絡線検波は、信号処理の分野における重要な技術です。
包絡線は、幾何学だけでなく、物理学や工学など様々な分野で現れる興味深い概念です。
具体的には、与えられた曲線族のそれぞれの曲線と必ず接点を共有し、かつその接点が連続的につながってできる曲線のことを言います。言い換えれば、包絡線は、その曲線族全体を「包み込む」ように存在しているのです。
包絡線の身近な例
この数学的な概念は、私たちの身の回りでも利用されています。最も分かりやすい例の一つが、AMラジオ放送です。
AM（振幅変調）ラジオの電波は、音声信号を搬送波と呼ばれる特定の周波数の波に乗せて送信されます。このとき、音声信号の大きさに応じて搬送波の振幅（波の高さ）が変化します。
ラジオ受信機では、この振幅の変動を取り出すことで元の音声信号を復元しますが、この振幅の変動の軌跡こそが、数学的な意味での包絡線にあたるのです。音声信号が搬送波の「包絡線」として表現され、この包絡線を取り出す技術は包絡線検波と呼ばれます。
包絡線の求め方
数学的には、包絡線は次のような方法で求めることができます。
$n$次元ユークリッド空間 $R^n$ 上にある、媒介変数 $t$（実数）によって決まる曲線族を考えます。それぞれの曲線は、ある方程式 $F_t(x_1, \dots, x_n) = 0$ で表されるとします。
この曲線族の包絡線上の点 $(x_1, \dots, x_n)$ は、ある特定の媒介変数 $t$ に対する曲線 $F_t = 0$ 上にあり、かつその点で包絡線と曲線 $F_t$ が接するという条件を満たします。
この条件は、連立方程式として表現されます。
$$
\begin{cases}
F_t(x_1, \dots, x_n) = 0 \\
\frac{\partial}{\partial t} F_t(x_1, \dots, x_n) = 0
\end{cases}
$$
上の式は、その点が曲線 $F_t=0$ 上にあることを示し、下の式は、その点が $t$ の変化に対して「特異な」振る舞いをする点、すなわち包絡線との接点となる候補であることを示しています。ここで $\frac{\partial F_t}{\partial t}$ は、$F_t$ を $t$ について偏微分したものです。
この連立方程式から媒介変数 $t$ を消去することで得られる方程式 $\varphi(x_1, \dots, x_n) = 0$ が、包絡線の式となります。
具体的な計算例
簡単な例として、平面上の直線の族
$L_t: y = x \sin t + \cos t$
を考えてみましょう。ここで $t$ は媒介変数です。この直線族の包絡線を求めるために、上記の連立方程式を作ります。まず、方程式を $F_t(x, y) = x \sin t - y + \cos t = 0$ の形に整理します。
次に、$F_t$ を $t$ で偏微分します。
$\frac{\partial}{\partial t} (x \sin t - y + \cos t) = x \cos t - \sin t$
したがって、包絡線を求めるための連立方程式は以下のようになります。
$$
\begin{cases}
x \sin t - y + \cos t = 0 \\
x \cos t - \sin t = 0
\end{cases}
$$
この連立方程式から $t$ を消去します。例えば、2番目の式から $x \cos t = \sin t$ となるので、$\sin t = x \cos t$ を1番目の式に代入すると、$x(x \cos t) - y + \cos t = 0$ となります。さらに、2番目の式から $\cos t = \frac{\sin t}{x}$ として、これを $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ の関係式に代入するか、あるいは連立方程式を $\sin t$ と $\cos t$ について解き、$x$ と $y$ で表された $\sin t$ と $\cos t$ をこの関係式に代入するなどの方法で $t$ を消去すると、
$x^2 - y^2 + 1 = 0$
という式が得られます。
これは双曲線の漸近線が $y = \pm x$ となる、$\frac{y^2}{1^2} - \frac{x^2}{1^2} = 1$ を少し変形した形の双曲線の式です。
このように、特定の直線族の包絡線として双曲線が現れることが分かりました。
関連概念
包絡線を理解するためには、曲線そのものの概念や、曲線を表現するための媒介変数の知識が役立ちます。また、応用例として挙げた包絡線検波は、信号処理の分野における重要な技術です。
包絡線は、幾何学だけでなく、物理学や工学など様々な分野で現れる興味深い概念です。
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