ニュートンの不等式

ニュートンの不等式は、18世紀の偉大な科学者であるアイザック・ニュートンの名にちなんで名付けられた、数学における重要な不等式です。特に、複数の実数に対して定義される「基本対称平均」と呼ばれる値の間に成立する関係を示しています。

定義と基本対称平均

n個の実数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ を考えます。これらの数から得られるk次対称式 $e_k$ は、異なるk個の数の積の総和として定義されます。例えば、1次対称式 $e_1$ はこれらの数の単純な和 $a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ であり、2次対称式 $e_2$ は全ての異なる2数の積の和（$a_1 a_2 + a_1 a_3 + \ldots + a_{n-1} a_n$）となります。

ニュートンの不等式では、このk次対称式 $e_k$ を、n個の中からk個を選ぶ組み合わせの数である二項係数 $\binom{n}{k}$ で割った「基本対称平均」$S_k$ を用います。基本対称平均は次のように定義されます。

$$S_k = \frac{e_k}{\binom{n}{k}}$$

この定義において、$k=0$ のときは $e_0=1$、$\binom{n}{0}=1$ と解釈し $S_0=1$ とします。また、$k>n$ のときは $e_k=0$、$\binom{n}{k}=0$ (または定義しない) としますが、不等式が意味を持つのは通常 $1 \leq k \leq n-1$ の範囲です。

ニュートンの不等式

上記の基本対称平均 $S_k$ について、以下の不等式が成り立ちます。

$$S_{k-1} S_{k+1} \leq S_k^2$$

これは、基本対称平均の列 $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_n$ において、任意の項の2乗が、その前後にある項の積以上であることを示しています。つまり、列中の項は「対数的に凸」のような性質を持っていると言えます。

等号成立条件

ニュートンの不等式における等号 $S_{k-1} S_{k+1} = S_k^2$ が成立するための必要十分条件は、対象となっている実数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ がすべて非負であり、かつ全て互いに等しいことです。すなわち、$a_1 = a_2 = \ldots = a_n \geq 0$ の場合に限り、等号が成り立ちます。

特殊なケース

基本対称平均 $S_k$ には、よく知られた平均が含まれています。

$k=1$ の場合、$S_1 = \frac{e_1}{\binom{n}{1}} = \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n}$ となり、これは算術平均（相加平均）そのものです。
$k=n$ の場合、$S_n = \frac{e_n}{\binom{n}{n}} = \frac{a_1 a_2 \ldots a_n}{1} = a_1 a_2 \ldots a_n$ となります。もし全ての $a_i$ が非負であれば、$S_n^{1/n} = (a_1 a_2 \ldots a_n)^{1/n}$ は幾何平均（相乗平均）となります。

ニュートンの不等式は、これらの基本的な平均を含む、より一般的な基本対称平均の間の関係性を網羅的に記述している不等式と言えます。

数学的な位置づけ

ニュートンの不等式は、多項式の根と係数の関係（ヴィエタの公式）や、他の古典的な不等式理論において重要な役割を果たします。特に、基本対称平均の幾何平均が算術平均以下であるという有名な相加相乗平均の不等式を含む、より広範な平均間の大小関係を示すマクローリンの不等式は、このニュートンの不等式から導かれる重要な結果です。これらの不等式は、代数学や解析学など、幅広い分野で応用されています。

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