対称式

対称式について

対称式とは、変数を入れ替えても形が変わらない特性を持つ多項式のことを指します。例えば、2変数の多項式である \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 \) を考えると、\( f(y, x) = y^2 + yx + x^2 \) となり、元の式と一致します。このように、変数の入れ替えによって変化しない多項式が対称式です。

対称式と交代式

対称式に対して、交代式というものも存在します。交代式は、\( g(x, y) = x^2 - y^2 \) のように、変数を入れ替えると符号が反転する特性を持ちます。すなわち、\( g(y, x) = y^2 - x^2 = -g(x, y) \) となり、交代式の符号が反転します。ただし、偶数個の交代式の積や交代式の自乗した形は、対称式となります。

基本対称式とその重要性

任意の対称式は、基本対称式と呼ばれる特定の形の多項式で表現できます。たとえば、\( s_1 = x + y \) および \( s_2 = xy \) という基本対称式を用いると、\( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = s_1^2 - s_2 \) となります。この基本対称式の概念は、2変数から3変数以上に拡張され、より複雑な多項式にも適用されます。

対称式の歴史的背景

1629年、アルベール・ジラールは代数方程式の根と係数の関係を発見し、係数が根の基本対称式で表現できることを示しました。この発見は、代数方程式の構造を理解する上での重要な支えとなりました。また、18世紀後半には、任意の対称式が基本対称式によって表現できることがウェアリングやヴァンデルモンドなどによって証明されました。

対称式の定義と性質

対称式は、n変数の多項式 \( f(x_1, x_2, \, \ldots , x_n) \) が、任意の交換可能な変数の置換 \( \sigma \) に対して不変である場合に成立します。すなわち、\( f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \) と \( f(x_\sigma(1), x_\sigma(2), \ldots , x_\sigma(n)) \) が同じ値を持つことを示します。

対称及び有理式

有理式も対称的である場合があり、これは分子と分母の両方が対称式であることを要求されます。このように、対称式は\( S_n \) という対称群の作用により不変であります。もし分母や分子に含まれる式が対称式でない場合、変数の置換を適用した新しい式を得ることで、対称的な形式にすることが可能です。

単項式と同型

単項式における対称性は、適当な置換によって生成されます。例えば、\( T(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) と\( T(x_1, x_2, \ldots, x_n)^{\sigma} \) が同型であるという性質があり、同型な単項式の和は対称式となります。このような特性は、対称式を構築する上で非常に便利です。

基本対称式の種類

基本対称式は、\( n \) 個の変数に関する式において各組み合わせによって生成され、通常は \( \sigma_k(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) の形で表現されます。

基本対称式の解釈が驚くほど重要であると同時に、これにより異なる変数を含む多項式の係数の関係を探求することが可能となりました。これにより、数学的な架構を理解しやすくなるのです。

対称式の定理とその重要性

対称式の基本定理によると、任意の対称式 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) に対し、基本対称式を変数とする多項式 \( g(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n) \) が一意に存在し、\( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = g(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n) \) が成り立ちます。これは、対称式が持つ構造を理解する上での土台を築く重要な定理です。

総括

対称式は数学の中で深い情報が詰まっており、その性質を理解することで、代数方程式の解析や構造の探究が進むことになります。基本対称式の導入と組み合わせ、さらにその応用によって、対称式は数学の多様な場面で重要な役割を果たします。

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