幾何平均

幾何平均について

幾何平均（きかへいきん）は、数学における平均の一種であり、数値データの相乗的な特性を捉えます。通常の算術平均とは異なり、幾何平均は数値の総和を取るのではなく、数値の積のn乗根を計算することによって求められます。このため、幾何平均は特に成長率や割合のような相対的な数値を表現する際に非常に有効です。

幾何平均の定義

幾何平均は、数の集合 {a1, a2, ..., an} に対して次のように定義されます。
$$ ext{幾何平均} = igg(rac{a_1 imes a_2 imes ext{…} imes a_n}{n}igg)^{1/n}
$$ 例えば、数値2と8の幾何平均は、$$igg(rac{2 imes 8}{2}igg)^{1/2}=igg(rac{16}{2}igg)^{1/2}=4$$となります。さらに、数値4、1、1/32の幾何平均は、$$igg(4 imes 1 imes rac{1}{32}igg)^{1/3}=igg(rac{4}{32}igg)^{1/3}=rac{1}{2}$$となります。

幾何平均の幾何学的解釈

幾何平均は、幾何学的に長方形の面積や立方体の体積に基づいて理解されることもあります。2つの数の幾何平均は、それらの相互作用によって得られる面積に基づいた正方形の一辺の長さに等しいと言えます。これは、幾何平均が正の数に限って定義され、非負の数の集合において広く用いられます。

幾何平均の性質

幾何平均は、ピタゴラス平均とも呼ばれる3つの古典的な平均の一つであり、算術平均、調和平均とともに特に注目されます。異なる正の数から成る集合で調和平均、幾何平均、算術平均はそれぞれ小さい順に並びます。また、算術幾何平均は両者の中間に位置します。

対数との関連

幾何平均は対数に変換することで、加算による計算を可能にします。具体的には、$$igg(rac{ ext{積}}{n}igg)^{1/n} = expigg[rac{1}{n}igg( ext{対数の和}igg)$$として表すことができます。

幾何平均の用途

成長率の計算

幾何平均は、成長率を示すデータに適しており、ビジネスにおいては特に年平均成長率（CAGR）を算出する際に役立ちます。例えば、一つのオレンジの木から初年度に100個のオレンジを収穫し、次第に成長して180個、210個、300個となった場合、成長率は80%、16.7%、42.9%であり、これらを算術平均すると46.5%となります。しかし、実際には成長率を幾何平均で計算すると、年率44.3%となり、実際の成長に近い数値です。

社会科学での応用

近年では、国際連合が人間開発指数を幾何平均を利用して求めるようになりました。これは、数値の性質をより良く反映し、異なる次元間の比較を容易にするためです。幾何平均は、こうした統計的な分析やデータ評価において、より直感的で実用的です。

映像におけるアスペクト比

映画や映像のアスペクト比の計算にも幾何平均が用いられます。異なるアスペクト比を持つ映像媒体の最適な比率を求める際に、幾何平均を取ることで各メディアの特性を考慮した中間的な比率が得られます。

まとめ

幾何平均は、数値データの特性を考慮し、成長率や比率のような相対的なことを理解するための重要な指標です。これにより、さまざまな分野で応用可能な数学的手法として広く利用されています。

もう一度検索