ニーベンの定理

ニーベンの定理

数学におけるニーベンの定理は、特定の条件下で角度と三角関数の値が同時に有理数となるケースを限定する重要な結果です。この定理は、主に角度を度数法で表現した場合に、0度から90度までの範囲にある角度θと、その角度に対応する正弦（サイン、sin θ）の値が、共に有理数となるのは非常に限られた場合のみであることを主張します。

具体的には、角度θが0°以上90°以下の範囲にあり、かつθ自身が有理数度（例えば30°や45°など、有理数と°を掛け合わせた形）であり、さらにその正弦の値sin θも有理数であるような状況は、以下の三つのケースに限られます。

角度が0°のとき、sin 0° = 0。
角度が30°のとき、sin 30° = 1/2。
* 角度が90°のとき、sin 90° = 1。

これらはいずれも角度とサインの値が同時に有理数となる例ですが、ニーベンの定理は、0°から90°の範囲ではこれ以外にそのような角度は存在しないことを保証します。

この定理は、角度を弧度法（ラジアン）で考える場合にも同様に適用できます。0以上π/2以下の範囲にある実数xについて、xをπで割った値x/πが有理数である（すなわちxがπの有理数倍である）とき、sinxが有理数となるのは、xが0、π/6、π/2の場合のみとなります。これらのケースでのsinxの値は、それぞれ0、1/2、1となり、度数法の場合と対応しています。

一般角への拡張

ニーベンの定理は、0°から90°の範囲を超えた一般角や、他の三角関数にも拡張して考えることができます。角度θが有理数度である場合に、正弦（sin θ）または余弦（cos θ）の値が有理数となるのは、その値が0、±1/2、±1のいずれかである場合に限られます。

また、正割（セカント、sec θ = 1/cos θ）または余割（コセカント、csc θ = 1/sin θ）の値が有理数となるのは、その値が±1、±2のいずれかである場合に限定されます。さらに、正接（タンジェント、tan θ = sin θ/cos θ）または余接（コタンジェント、cot θ = cos θ/sin θ）の値が有理数となるのは、その値が0、±1のいずれかである場合に限られます。

これらの拡張された結果も、角度が有理数度であるという条件下での三角関数の値の有理性に関する強い制約を示しています。

定理の歴史

この定理は、数学者イヴァン・ニーベンにちなんで名付けられましたが、彼が自身の著書『無理数』（Irrational Numbers）でこの定理を証明する以前にも、同様の結果は知られていました。特に、D・H・レーマーやJ. M. H. オルムステッドといった数学者たちが、先行して関連する研究を行っています。

レーマーは1933年の研究で、余弦についてより一般的な定理を証明しました。彼は、2πk/nという形の角度（ただしkとnは互いに素な整数でn>2）に対して、2かけるcos(2πk/n)という値が、オイラーのトーシェント関数φ(n)を用いて表される代数的数であることを示しました。有理数は特別な場合として1次の代数的数であるため、この値が有理数となるためには、対応する代数的数が1次である必要があり、これはφ(n)/2 = 1、すなわちφ(n) = 2の場合に限られます。φ(n)=2を満たす整数nは、1, 2, 3, 4, 6のみであることが知られています。これらのnの値に対して2πk/nの形の角度を調べ、対応するコサインの値が有理数となる場合を個別に検証することで、余弦に関する同様の定理が得られます。そして、sin θ = cos (θ - π/2) という三角関数の性質を利用して、正弦に関するニーベンの定理の主張が導かれました。

イヴァン・ニーベンは、その後の1956年にレーマーの結果を拡張し、他の三角関数についても同様の有理数の値に関する制約があることを明らかにしました。以来、多くの数学者によって、この定理の新しい証明方法が発表されています。

関連事項

ニーベンの定理は、幾何学、特に直角三角形の性質とも関連があります。例えば、三辺の長さが全て整数であるピタゴラス三角形を考えたとき、その鋭角の大きさが有理数度になることはありません。もしピタゴラス三角形の鋭角が有理数度であるならば、その角のサインやコサインの値は有理数になるはずですが、ニーベンの定理とその拡張が示すように、有理数度に対するサインやコサインの有理数値は限られた値（0, ±1/2, ±1）しか取り得ません。一方、ピタゴラス三角形の鋭角のサインやコサインの値は、辺の長さの比（例: 対辺/斜辺）で与えられるため必ず有理数になりますが、これらの有理数がニーベンの定理が許容する限られた値になるのは、退化した（角度が0°または90°の）三角形の場合などに限られてしまいます。一般的なピタゴラス三角形の角度は、この定理によって有理数度ではないことが示されるのです。

このように、ニーベンの定理は、角度の有理性と三角関数の値の有理性の間に存在する厳密な関係を明らかにし、無理数の研究とも関連する興味深い結果を提供しています。

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