ノルム (体論)

体の拡大とノルム

抽象代数学における体論では、体の拡大に関連するノルムが重要な概念とされています。このノルムは、ある体拡大における元（数や式等）を元の体の元へと移す特別な写像です。特に有限拡大やガロア拡大においてノルムは中心的な役割を果たし、代数的整数論の応用にも関連しています。

ノルムの定義

体の有限次元拡大を考えた時、例えば L が K の有限次元拡大の場合、L の要素 α のノルム NL/K(α) は次のように定義されます。特定の変数に基づき、K を含む代数閉包 Ka を固定し、K の元を保つ異なる同型の集合 σ1, σ2, ..., σn を考えます。これらを用いると、ノルム NL/K は次のように表現されます。


$$
N_{L/K}(eta) := ig( au_{1}(eta) au_{2}(eta) imes ext{...} imes au_{n}(eta)ig)^{[L:K]_{i}}
$$

ここで、[L:K]i は拡大の非分離次数を示します。これは元を特定の写像を通じて移動させる際の重要な要素です。

例

具体的な例を挙げてみましょう。L を複素数体 C、K を実数体 R とすると、R の代数閉包は C です。この場合、R を固定した C の自己同型は、恒等写像と複素共役の2つになります。任意の複素数 α = a + ib に対し、ノルムは次のように定義されます。

• - $$N_{C/R}(eta) = ext{定義それに従う}$$

この例からも分かるように、ノルムは異なる体間の関係を定義する重要なツールとなります。

ノルムの性質

体の拡大 L/K に対して、L の任意の元 α に対してノルム NL/K(α) は K の元であり、特に α がもとの体 K の元であれば、次の関係が成り立ちます。

• - $$N_{L/K}(eta) = eta[L:K]$$

さらに、2 つの元 α と β に対して、ノルムの積に関する性質があり、次の式が成り立ちます。

• - $$ N_{L/K}(eta imes

ho) = N_{L/K}(eta) imes N_{L/K}(
ho) $$

また、拡大の列 L/M/K に対しては、任意の元 α に対して次のように関連づけることができます。

• - $$ N_{L/K}(eta) = N_{M/K}(N_{L/M}(eta)) $$

この性質は、拡大体を K-ベクトル空間として見る際の解析において特に便利です。

ヒルベルトの定理90

体の拡大に関連する重要な定理として、ヒルベルトの定理90が挙げられます。この定理は、体の有限次巡回拡大の場合、特定の条件が同値であることを示しています。具体的には、以下の2つの条件が同時に成り立つことが確認されています。
1. $$ NL/K(eta) = 1 $$
2. $$ eta =
ho / au(
ho) $$ を満たす非ゼロ元 β が存在する。

一般化

さらに、一般的な有限群 G とその上の加群 M においても、関連するノルム写像が存在します。ここでのノルムは、G の作用に対して不変であり、特定の加群の部分構造と結びついています。ガロア拡大の文脈においては、乗法群 L* がガロア群 G において加群として振る舞い、ノルム写像 NG が拡大のノルム NL/K に一致します。

このように、ノルムは体論における多くの重要な概念と密接に関連しており、数学のさまざまな領域での研究において鍵となる役割を果たしています。

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