ノルム多元体

ノルム多元体：実[[数]]体上の代数の分類

数学において、ノルム多元体（normed division algebra）とは、乗法的なノルムを持つ多元体のことを指します。つまり、任意の要素x, yに対し、ノルム‖・‖を用いて、‖xy‖ = ‖x‖‖y‖という関係が成り立ちます。これは、ノルムが乗法と整合性を持つことを意味しています。

実[[数]]体上のノルム多元体は、その構造の特殊性から、きわめて限られた種類しか存在しません。具体的には、同型の違いを除けば、以下の4種類のみです。

1. 実[[数]]体 R
2. 複素数体 C
3. 四元数体 H
4. 八元数体 O

この事実は、フルヴィッツの定理として知られており、代数構造における重要な結果の一つです。これらのノルムは、それぞれ標準的な絶対値によって定義されます。最初の3つは結合多元環ですが、八元数体は非結合的であり、交代代数となります。また、複素数体上の結合的ノルム多元体は、複素数体自身のみです。

ノルム多元体の分類：フロベニウスからツォルンへ

実多元体の分類の歴史は、フロベニウスの研究に始まり、フルヴィッツによる発展、そしてツォルンによる完成という流れを辿ります。この過程は、代数構造の深遠な理解を示すもので、数学史において重要な位置を占めています。Badger (2006) には、この分類に関する簡潔な歴史的概要が掲載されています。

完全な証明は、Kantor & Solodovnikov (1989) と Shapiro (2000) に見られます。証明の骨子は、多元環 A が 1 に比例するならば実[[数]]体に同型であり、そうでない場合はケーリー＝ディクソン構成を用いて、段階的により高次元の多元環を構成していくというものです。

まず、1 に比例する部分多元環を考え、それに直交するベクトル e を導入することで、複素数体に同型な部分多元環が得られます。この過程を繰り返すことで、四元数体、そして八元数体に同型な部分多元環を構成できます。最終的に、A が八元数体と同型であることを示すことで、実[[数]]体上のノルム多元体の分類が完成します。この証明においては、A の任意の結合的部分多元環が 1 を含むという事実が重要な役割を果たします。

フルヴィッツの定理：平方数の和と代数の次元

1898年にアドルフ・フルヴィッツによって証明されたフルヴィッツの定理（「1, 2, 4, 8 定理」）は、ノルム多元体の分類と深い関わりがあります。この定理は、「n 個の平方数の和が、n 個の平方数の和同士の積として表現できるのは、n が 1, 2, 4, 8 のいずれかの場合に限る」というものです。

元々の証明では二次形式の係数は複素数でしたが、現在は標数が 2 でない任意の体まで拡張されています。この定理は、ノルム多元体の次元が 1, 2, 4, 8 に限られるという事実を反映しており、代数構造と数論的な性質の美しい融合を示すものです。

合成代数：ノルム多元体の拡張

ノルム多元体は、合成代数というより広い概念の特別な場合として理解できます。合成代数とは、乗法的二次形式を持つ単位的多元環です。ノルム多元体は可除であり零因子を持たないのに対し、合成代数には零因子を持つものも存在します。

実[[数]]体上の合成代数は、ノルム多元体の4種類に加え、分解型複素数環、分解型四元数環、分解型八元数環の3種類が存在します。これらの代数は、ノルム多元体と同様、幾何学や物理学など様々な分野で応用されています。

参考文献

Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2.
Porteous, I.R. (1969). Topological Geometry. Van Nostrand Reinhold. ISBN 0-442-06606-6.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5.

関連文献

John H. Conway, Derek A. Smith On Quaternions and Octonions. A.K. Peters, 2003.
John Baez, The Octonions, AMS 2001.

関連項目

ノルム代数

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