ノントーティエント

ノントーシェント（nontotient）について

ノントーシェントとは、自然数の集合の中でオイラーのトーシェント関数 φ の値域に属さない数を指します。具体的には、ある自然数 n がノントーシェントである場合、φ(x) = n という条件を満たす自然数 x は存在しないということになります。この φ(x) という関数は、x 以下の自然数の中から、x と互いに素な数の個数を返すもので、この性質からノントーシェントの定義が派生しています。

例えば、「1」という数は特別です。具体的には、φ(1) = 1 に対応する x の解は x = 1 または x = 2 となり、そのため「1」はノントーシェントには分類されません。しかし、1を除いたすべての奇数はノントーシェントに属します。

また、偶数の中にもノントーシェントが無数に存在しています。その中でも最小のノントーシェントは 14 です。14 から始まるいくつかの例を挙げると、26, 34, 38, 50, 62 などが続きます。このように、偶数でも数多くのノントーシェントが見つかることがわかります。

さらに興味深いことに、ノントーシェントの集合には密度が 1 という特性があります。これは、ほとんどの自然数がノントーシェントであることを示唆しており、整数全体の中で非常に多くの数がこの特性を持っています。ただし、素数 p を考慮すると、p − 1 はノントーシェントではありません。そのため、トーシェントの逆数の和は発散することが知られています。

特定の条件が絡む場合も興味深いです。例えば、ある素数 p が与えられた場合、2p がノントーシェントであることと、2p + 1 が合成数であることが同等であることがわかります。この場合、p はソフィー・ジェルマン素数ではないことが示唆されます。また、4p がノントーシェントであるためには、条件として 2p + 1 および 4p + 1 が共に合成数である必要があります。

一方で、φ(p) の計算結果が p − 1 となると、そのように表される数は必ずノントーシェントでないことが分かります。加えて、φ(p^2) の計算により、(p − 1)p という形で表される矩形数もノントーシェントにはならないことが示されます。さらに、p − 1 で表される異なる数同士の積もまたノントーシェントにはならないため、これらの特性を考慮することで、ノントーシェントに関する理解が深まります。

このように、ノントーシェントは数学的な興味を引くテーマであり、オイラーのトーシェント関数との関連を通じて、自然数の分類やその特性への理解を深める手助けとなります。

関連項目

• - オイラーのφ関数
• - 互いに素

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