矩形数

矩形数とは

矩形数、またの名を長方形数や長方数は、連続する自然数の積として定義される数です。全ての矩形数は偶数であり、その中で最小の数は 2 です（0 を含めることもあります）。

矩形数の基本

n 番目の矩形数は、n(n + 1) の形で表され、これは n 番目の三角数の 2 倍にあたります。具体的に小さな矩形数の例を挙げると、次のようになります。

(0), 2, 6, 1[[2]], 20, 30, 42, 5[[6]], 72, 90, 110, 13[[2]], 1[[5[[6]]]], 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 75[[6]], 81[[2]], 870, 930, 992, …。これらはオンライン整数列大辞典の数列 A2378 に登録されています。

興味深いことに、矩形数の 1 の位の数字は 0, 2, 6 のいずれかで、これらの数字はその後 2, 6, 2, 0, 0 の順で無限に繰り返されます。また、2 から n 番目の偶数までの合計は、常に n 番目の矩形数になります。例えば、次のように表せます: 2 = 1 × 2、2 + 4 = 2 × 3、2 + 4 + 6 = 3 × 4 です。

特殊な性質

矩形数の中で唯一素数なのは 2 のみです。この 2 はまた、矩形数の中で唯一のフィボナッチ数としても知られています。また、n(n + 1) を改めて表すと、n² + n となり、n 番目までの矩形数に 41 を加えたものはオイラー素数になります。

n(n + 1) は、(n + 1)² − (n + 1) という形で表すことも可能です。さらに、素数番目の矩形数は、特定の数 p に対し p(p + 1) = pσ(p) という式で示され、この σ は約数関数を表します。

また、偶数の完全数の正の約数の和も矩形数に当たります。（参照：オンライン整数列大辞典の数列 A13925[[6]]）。 n 次の正方行列における対角成分以外の成分の数も、n − 1 番目の矩形数になります。興味深いことに、矩形数の逆数の合計は 1 に収束することが示されています。

矩形数の逆数の特性

以下の部分分数分解から、矩形数の逆数を使って自然数の逆数の階差数列が形成されることがわかります（符号は異なりますが）。この逆数を順に加算していくと、初項と公比が 1/2 の無限等比数列を構成することもできます。

例えば、

• - 1/6 + 1/1[[2]] = 1/4 などのように、逆数を累積していくとさまざまな関係が導かれます。

その他の関係性

矩形数は、多重根号で表す際にも現れます。特に、6 は 5 番目の矩形数である 30 と 6 番目の矩形数である 42 を使って次のように表すことができます。

• - 6 = √(30 + √(30 + √(30 + √(30 + ...))))
• - 6 = √(42 - √(42 - √(42 - √(42 - ...))))

これは一般に n = √(x ± n) と表され、x = n² ∓ n と表現できることを示しています。

関連項目

• - 図形数
• - 三角数

参考文献

• - Weisstein, Eric W. "Pronic Number". mathworld.wolfram.com

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