ハイゼンベルクの運動方程式

ハイゼンベルクの運動方程式：量子力学におけるオブザーバブルの時間発展

ハイゼンベルクの運動方程式は、量子力学のハイゼンベルク描像において、オブザーバブル（物理量）の時間発展を記述する重要な方程式です。この方程式は、量子力学における物理量の振る舞いを理解する上で不可欠な役割を果たしています。

しばしばハイゼンベルクの名前で呼ばれていますが、歴史的には1925年、ヴェルナー・ハイゼンベルクではなくマックス・ボルンとパスカル・ヨルダンによって最初に導き出されました。同時期にポール・ディラックも独立してこの方程式を導いています。後に、この方程式がシュレーディンガー描像におけるシュレーディンガー方程式と数学的に等価であることがエルヴィン・シュレーディンガーとポール・ディラックによって独立に証明されました。この等価性は、量子力学の異なる描像間の整合性を示す重要な結果です。

ハイゼンベルク描像における方程式

ハイゼンベルク描像では、オブザーバブルは時間とともに変化しますが、状態ベクトルは時間によらず一定です。この描像におけるハイゼンベルクの運動方程式は、以下のようになります。


i\hbar \frac{d\hat{A}_{H}(t)}{dt} = [\hat{A}_{H}(t), \hat{H}_{H}(t)]


ここで、

$\hat{A}_{H}(t)$ は時刻 t におけるオブザーバブル A の演算子（ハイゼンベルク描像）
$\hat{H}_{H}(t)$ は時刻 t におけるハミルトニアン（系の全エネルギーを表す演算子、ハイゼンベルク描像）
$[\hat{A}, \hat{H}] = \hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A}$ は交換子（二つの演算子の非可換性を表す）
$\hbar$ はディラック定数

この方程式は、古典力学におけるハミルトン力学の運動方程式と類似性があり、ポアソンの括弧を用いた式と対応関係があります。この類似性は、量子力学と古典力学の間の深い関係を示唆しています。

シュレーディンガー描像を含む場合の修正

シュレーディンガー描像では、状態ベクトルが時間とともに変化し、オブザーバブルは時間によらず一定です。しかし、時間依存するオブザーバブルを扱う場合、ハイゼンベルクの運動方程式は以下の様に修正されます。


i\hbar \frac{d\hat{A}_{H}(t)}{dt} = [\hat{A}_{H}(t), \hat{H}_{H}(t)] + \hat{U}^{\dagger}(t)\left(\frac{d\hat{A}_{S}(t)}{dt}\right)\hat{U}(t)


ここで、

$\hat{A}_{S}(t)$ は時刻 t におけるオブザーバブル A の演算子（シュレーディンガー描像）
$\hat{U}(t)$ は時間発展演算子
* $\hat{U}^{\dagger}(t)$ は時間発展演算子のエルミート共役

この修正項は、シュレーディンガー描像におけるオブザーバブルの時間依存性を考慮に入れたものです。時間依存するポテンシャルを持つ系など、より複雑な系を扱う際には、この修正された方程式を用いる必要があります。

まとめ

ハイゼンベルクの運動方程式は、量子力学におけるオブザーバブルの時間発展を記述する基本的な方程式です。ハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像のどちらを用いるかによって、方程式の表現は異なりますが、両者は数学的に等価です。この方程式は、量子力学の様々な現象を理解する上で重要な役割を果たしており、現代物理学においても重要な位置を占めています。

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