ハイゼンベルク描像

ハイゼンベルク描像について

ハイゼンベルク描像（Heisenberg pictureまたはHeisenberg representation）は、量子力学における重要な理論的枠組みであり、演算子（可観測量やその他）が時間と共に変化する一方で、状態ベクトルは時間に依存しないという特徴があります。この理論は、シュレーディンガー描像と同等の結果をもたらしますが、アプローチが異なります。特に、ハイゼンベルク描像はハイゼンベルク力学とも称され、行列力学の一環として位置づけられます。

数学的な理由付け

量子力学のハイゼンベルク描像では、状態ベクトル |ψ⟩ は時間に対して一定であり、これはさまざまな可観測量 ˆA(t) の時間発展を時系列の運動方程式に基づいて表現します。これにより、物理量の期待値はシンプルに表現され、時間発展は演算子によって表現されます。

また、ハイゼンベルク描像は相対論的な場の量子論において広く使用され、その理由の一つはローレンツ不変性が自然に表れる点です。さらに、古典力学との類似性が目を引くものであり、ポアソン括弧を用いることでハイゼンベルクの方程式はハミルトン力学の運動方程式と同じ形を持ちます。

描像間の等価性

シュレーディンガーの描像において、演算子 ˆA がエルミート演算子である場合、その期待値は以下のように計算されます。この期待値はシュレーディンガー方程式を用いて表現される物理量と一致します。したがって、シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像間で物理量の期待値は等しいことが証明されます。

このことから、ハイゼンベルク描像の演算子 ˆA(t) の時間依存性はシュレーディンガー方程式から導かれ、両者は時間発展に関して互換性を持つ理論であることがわかります。特に、シュレーディンガー方程式とハイゼンベルク方程式は相互に変換可能で、同時刻での物理量の期待値は一致します。例えば、二つの状態が同時刻 t1 = t2 である場合、期待値の計算は正準交換関係に収束します。

交換関係の考察

ハイゼンベルク描像においては、演算子が時間に依存することから、シュレーディンガー描像とは異なる交換関係が現れます。一次元の調和振動子を例にとると、位置演算子 x(t) および運動量演算子 p(t) の時間発展は、初期条件に基づいて容易に計算できます。こうして、直接的な交換関係が求められ、正常な交換関係が最終的に導き出されます。

まとめ

総じて、ハイゼンベルク描像は量子力学の理解を深める上で、特に相対論的量子力学や古典力学との関係において重要な役割を果たしています。ハイゼンベルク描像を通じて、演算子の時間依存性や状態ベクトルの時間不変性に基づく物理現象の探求は、一層深まることでしょう。この描像の理解は、量子力学的世界を視覚化し、解析する上で欠かせないものです。

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