ハルトークス数

ハルトークス数について

公理的集合論におけるハルトークス数は、特に基数の性質を探求する際に重要な役割を果たします。これは、1915年にフリードリヒ・ハルトークスによって導入された概念であり、与えられた基数よりも大きな整列順序付けられた基数の存在を示すものです。興味深い点は、この発見がZF公理系という特定の理論フレームワーク内で行われたため、選択公理を必要としなかったことです。

ハルトークス数の定義

ハルトークス数は、ある集合の整列可能性に依存せずに定義されます。具体的には、任意の集合Xに対して、そのハルトークス数は、Xへの単射が存在しないように作られる最小の順序数αとして定義されます。整列可能でない集合の場合、その数が基数よりも「大きい」とは限らず、単に「小さくも等しくもない」と表現されることがあります。また、Xからαへの写像は「ハルトークスの関数」として知られています。

証明の流れ

ハルトークス数に関連する証明は、集合論の基本的な定理を用いることで簡潔に行うことができます。まず、次のようにαを定義します：

α = {β ∈ Ord | ∃i : β ↪ X}

ここで、Ordは全ての順序数のクラスを示します。この定義に基づき、まずはαが集合であることを確認する必要があります。

Xの二回冪集合X × Xは、冪集合公理に基づいて、定義可能な部分クラスとして取り扱うことができます。これは再び冪集合公理を利用して、Xの冪集合も集合であることが示されます。

次に、Xの部分集合全体に対する反射的整列順序からなるクラスWも、先述した集合の定義可能な部分クラスであるため、分出公理によって集合であることが確立されます。また、Wに属する整列順序のすべての順序型のクラスも置換公理により集合であることが示されます。

最終的に、これらの関係に基づいて、αを具体的に示すことができます。順序数の推移的集合は再び順序数として成立するため、このαは順序数であることが確認されます。もしαからXへの単射が存在すれば、α ∈ αという矛盾が生じます。したがって、αはXへの単射が存在しないような最小の順序数であると結論づけられます。

参考文献

• - Fritz Hartogs (1915). "Über das Problem der Wohlordnung". Mathematische Annalen. 76(4): 438–443. doi:10.1007/BF01458215.
• - Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• - Charles Morgan. "Axiomatic set theory". Course Notes. University of Bristol.

もう一度検索