ハンケル変換

ハンケル変換とは

ハンケル変換は、連続関数に対する積分変換の一種であり、特に円筒座標系や極座標系で対称性を持つ問題において、その有用性が発揮されます。この変換は、ドイツの数学者ヘルマン・ハンケルによって導入され、フーリエ・ベッセル変換とも呼ばれます。

定義

関数 f(r) に対する次数 ν のハンケル変換 Fν(k) は、以下の積分で定義されます。

math
F_{
u}(k) = \int_{0}^{\infty} f(r) J_{
u}(kr) r dr


ここで、Jν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数です。この変換は、関数 f(r) をベッセル関数の基底で展開していると解釈できます。

逆変換

ハンケル変換の逆変換は、以下の式で与えられます。

math
f(r) = \int_{0}^{\infty} F_{
u}(k) J_{
u}(kr) k dk


この式は、ハンケル変換された関数 Fν(k) から元の関数 f(r) を復元する方法を示しています。逆変換の存在は、ベッセル関数の直交性によって保証されます。

ハンケル変換の定義域

関数 f(r) のハンケル変換が定義されるためには、f(r) がある程度の条件を満たす必要があります。具体的には、以下の条件が満たされる必要があります。

1. f(r) が連続で、区間 (0, ∞) で定義されていること、または区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であること。
2. 積分 ∫[0, ∞] |f(r)| r^(1/2) dr が有限であること。

ただし、フーリエ変換と同様に、この条件を満たさない関数に対しても、ハンケル変換を拡張できる場合があります。

基底関数の直交性

ハンケル変換の基底関数であるベッセル関数は、重み因子 r に関して直交性を持ちます。この直交性は、以下の式で表されます。

math
\int_{0}^{\infty} J_{
u}(kr) J_{
u}(k'r) r dr = \frac{\delta(k-k')}{k}


ここで、k と k' はどちらも0より大きい値です。この直交性により、ハンケル変換とその逆変換が成立し、関数をベッセル関数の線形結合で表現できます。

プランシュレルの定理とパーセバルの定理

関数 f(r) と g(r) のハンケル変換をそれぞれ Fν(k) と Gν(k) とすると、プランシュレルの定理は以下のようになります。

math
\int_{0}^{\infty} f(r) g(r) r dr = \int_{0}^{\infty} F_{
u}(k) G_{
u}(k) k dk


この定理は、元の空間と変換された空間の間で、関数の積分値が保存されることを意味しています。

パーセバルの定理は、プランシュレルの定理の特別な場合であり、以下のように表されます。

math
\int_{0}^{\infty} |f(r)|^2 r dr = \int_{0}^{\infty} |F_{
u}(k)|^2 k dk


これらの定理は、ハンケル変換がエネルギー保存則を満たすことを示しており、物理学における応用で重要です。

他の積分変換との関連

フーリエ変換との関連

零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と等価です。二次元の関数 f(r) のフーリエ変換は、極座標系で表現すると、以下のようになります。

math
F(k) = \int_{0}^{\infty} f(r) J_{0}(kr) r dr


これは、零次のハンケル変換の定義と一致します。このことから、ハンケル変換はフーリエ変換の円筒座標系における特殊な形と見なすことができます。

フーリエ変換、アーベル変換との関連

ハンケル変換は、FHAサイクルと呼ばれる積分演算の一部です。Aをアーベル変換、Fをフーリエ変換、Hを零次のハンケル変換とすると、回転対称な関数に対して、以下の関係が成り立ちます。

math
FA = H


これは、ある関数にアーベル変換を適用し、その結果をフーリエ変換することと、その関数にハンケル変換を適用することが等価であることを意味しています。

変換表

ハンケル変換は、様々な関数に対してその変換結果が知られています。以下に、いくつかの例を示します。

(変換表については、元のドキュメントの情報を参照)

応用

ハンケル変換は、以下のような様々な分野で応用されています。

画像処理: 画像の解析や再構成
物理学: 波動現象や電磁気学
工学: アンテナ設計や信号処理
数学: 微分方程式の解法

まとめ

ハンケル変換は、ベッセル関数を基底とする積分変換であり、円筒座標系や極座標系での問題解析に有効です。フーリエ変換との関連性も深く、様々な分野で広く活用されています。

参考文献

Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed. ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 179–223
GSL リファレンスマニュアル, 第32章 離散ハンケル変換

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