回転対称

回転対称性：図形の美しい調和

幾何学において、回転対称性は図形の特徴を捉える上で重要な概念です。これは、図形を特定の中心点または軸の周りに回転させたとき、元の図形とぴったり重なる性質を指します。

回転対称の定義

2以上の整数nを用いて定義します。中心（2次元図形）または軸（3次元図形）の周りに(360/n)°回転させると元の図形と重なる場合、その図形はn回対称、またはn回回転対称であると言います。例えば、n=3の場合、120°回転で重なるので3回対称です。n=1の場合、360°回転で重なるのは自明であり、対称性としては扱いません。また、n回対称であれば-n回対称でもあるため、負の値は考慮しません。

回転対称の性質

回転対称性にはいくつかの重要な性質があります。

2次元図形: 2回対称は点対称と等価です。
3次元図形: 2回対称は線対称と等価です。
n回対称と円対称: 整数nに対し、n回対称であれば、任意の角度で回転させても自己と重なります。これは円対称と等価です。
約数による対称性: n回対称であるならば、nの任意の約数mについてもm回対称です。例えば、6回対称ならば、2回対称、3回対称でもあります。
最小公倍数による対称性: m回対称かつn回対称ならば、最小公倍数lcm(m, n)回対称です。例えば、3回対称かつ4回対称ならば、lcm(3, 4) = 12回対称です。

回転反対称性

磁場のように正負の性質を持つ対象では、回転によって正負が反転する場合があります。 (360/n)°回転させると、元の図形と正負が反転する性質を回転反対称と言います。 n回反対称ならば、(720/n)°回転させると元の図形と一致します。これは、nが偶数でn/2回対称であることを意味します。回転反対称は常に偶数回反対称です。

回転対称図形の例

様々な図形が回転対称性を示します。

2次元図形

円: 2以上の任意の整数nについてn回対称です。
正n角形: n回対称です。
平行四辺形: 2回対称です。

3次元図形

(回転軸は図形の中心を通るものとします)

球: 任意の軸について、2以上の任意の整数nについてn回対称です。(球対称も参照)
正n角錐: 頂点と底面の中心を結ぶ軸についてn回対称です。
* 正多面体: シュレーフリの記号{m, n}で表される正多面体は、頂点を通る軸でn回対称、辺の中心を通る軸で2回対称、面の中心を通る軸でm回対称です。例えば、立方体({4, 3})は、頂点を通る軸で3回対称、辺の中心を通る軸で2回対称、面の中心を通る軸で4回対称です。

まとめ

回転対称性は、図形の対称性を理解する上で基本的な概念です。本稿では、その定義、性質、そして回転反対称性について解説しました。様々な図形における回転対称性の理解は、幾何学、物理学、そしてデザインなど、幅広い分野で役立ちます。

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