ハーゲン・ポアズイユ流れ

ハーゲン・ポアズイユ流れ

ハーゲン・ポアズイユ流れとは、円形断面を持つ一定の太さの管の中を、ゆっくりと、かつ時間的に変化しない（定常）状態で流れる粘性を持つ液体や気体（特に非圧縮性のニュートン流体）の、層流における厳密な速度分布や流量を表す理論解です。これは、粘性流体の運動を記述する基本的な方程式であるナビエ・ストークス方程式の数少ない解析的な（数式で明確に表現できる）解の一つであり、流体力学において非常に基礎的かつ重要なモデルとされています。

このような流れにおいて、管の中心からの距離に応じた流体の速度は、中心軸上で最大となり、管の壁面でゼロとなる放物線状の分布を示します。この速度分布 $u(r)$ は、管の中心からの半径方向距離 $r$（$0 < r < a$、ただし $a$ は管の半径）に対して、以下の式で厳密に表されます。

$$u(r) = \frac{gI_{e}}{4
u}(a^2 - r^2)$$

ここで、$u$ は流れ方向の速度、$g$ は重力加速度、$I_e$ は動水勾配（流れによるエネルギーの傾き）、$
u$ は流体の動粘性係数、$a$ は管の半径です。この式が示すように、速度は管の中心からの距離の2乗に比例して減少することがわかります。

歴史的背景

この放物線状の速度分布や関連する法則は、19世紀に二人の研究者によってそれぞれ独立に発見されました。ドイツの土木技術者であるゴットヒルフ・ハーゲンは1839年に、フランスの医師であるジャン・ポアズイユは1840年に、それぞれ詳細な実験を行う中でこの現象を見出しました。ハーゲンは下水道などの設計に関連して、ポアズイユは血流の研究に関連して、管内の粘性流体の流れを調べていたと考えられています。

このような背景から、この流れに関する解や法則は「ハーゲン・ポアズイユ流れ」「ハーゲン・ポアズイユの法則」「ハーゲン・ポアズイユの式」と呼ばれています。特にヨーロッパなど一部の地域では、技術者より医師の社会的地位が高かったためか、ハーゲンの名前が省略されて単に「ポアズイユ流れ」と呼ばれることもありますが、これは両者の貢献を公平に評価する上では適切ではないとする見方もあります。

ハーゲン・ポアズイユの式（流量の法則）

前述の速度分布を管の断面積全体で積分することにより、管を通過する単位時間あたりの体積流量 $Q$ を求めることができます。この流量に関する公式が、一般に「ハーゲン・ポアズイユの式」または「ハーゲン・ポアズイユの法則」として知られています。

$$Q = \int_{0}^{a} u(r) \cdot 2\pi r dr = \frac{\pi gI_{e}}{8
u}a^4$$

この式は、円管内の層流における流量が、管の半径 $a$ の4乗に比例することを示しており、この「半径の4乗則」はハーゲン・ポアズイユ流れの最も特徴的な性質の一つです。また、この式を変形することで、流量 $Q$、管の半径 $a$、動水勾配 $I_e$ を測定することにより、流体の動粘性係数 $
u$ を実験的に求めることも可能です。

ナビエ・ストークス方程式からの導出と実験的発見

ハーゲン・ポアズイユ流れは、ナビエ・ストークス方程式に対して、以下の条件を仮定することで数学的に厳密に導出することができます。

流れが時間的に変化しない定常状態であること。
流体が乱れることなく層状に流れる層流であること（すなわち、レイノルズ応力がゼロであること）。
流れが管軸方向のみであり、断面方向への速度成分がないこと。
流体が連続体として扱えること。
* 管壁面において流体の速度がゼロであること（スリップしない条件）。

しかし、ハーゲンとポアズイユがこの法則を発見した当時は、ナビエ・ストークス方程式が確立されて間もない時期であり、彼らはこの方程式を解析的に解く能力に基づいて発見したのではなく、精密な実験観測とデータ分析を通して法則を見出したと考えられています。

ダルシー・ワイスバッハの式との関係

円管内の流れによるエネルギー損失を表す古典的な式に、ダルシー・ワイスバッハの式があります。この式は、管路のエネルギー損失頭水 $h_f$ を、管長 $L$、管径 $D=2a$、平均流速 $\bar{u}$、重力加速度 $g$、そして無次元の摩擦損失係数 $f$ を用いて $h_f = f \frac{L}{D} \frac{\bar{u}^2}{2g}$ と表します。動水勾配 $I_e = h_f/L$ を用いると、$I_e = f \frac{1}{2a} \frac{\bar{u}^2}{2g}$ となります。

ハーゲン・ポアズイユ流れにおける平均流速 $\bar{u} = Q / (\pi a^2)$ および流量 $Q$ の式を用いると、このダルシー・ワイスバッハの式における摩擦損失係数 $f$ と、流れの慣性力と粘性力の比を表す無次元数であるレイノルズ数 $Re = \frac{\bar{u} \cdot 2a}{
u}$ の間に、以下の簡単な関係が成り立つことが導かれます。

$$f = \frac{64}{Re}$$

この関係は、円管内の層流における摩擦損失係数がレイノルズ数に反比例することを示しており、ハーゲン・ポアズイユ流れがダルシー・ワイスバッハの式の層流領域における理論的根拠を与えていると言えます。

このように、ハーゲン・ポアズイユ流れは、円管内の粘性流体の流れに関する基本的な理論的枠組みを提供するだけでなく、実際の管路設計や流体計測においても重要な役割を果たしています。

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