三進法

三進法とは

三進法とは、数を表現する方法の一つで、3を底（基数）とする位取り記数法です。普段私たちが使っている十進法では0から9までの10個の数字を使いますが、三進法では0、1、2の3つの数字だけを使います。数を3の冪乗の和で表し、各桁には0、1、2のいずれかが入ります。例えば、十進法の「10」は、三進法では「101」と表現されます。

三進法の仕組み

任意の正の数は、以下のように3の冪乗の和で表現できます。


aN3^N + a(N-1)3^(N-1) + ... + a13 + a0 + a(-1)3^(-1) + a(-2)3^(-2) + ...


ここで、係数 `am` は0、1、2のいずれかの値を取ります。このとき、各桁の係数を並べたものが三進法での表現となります。


aNa(N-1)...a1a0.a(-1)a(-2)...


小数点以下も同様に、3の負の冪乗の和で表現できます。

三進法の位取り

三進法では、各桁が3倍になるごとに桁が上がります。十進法で「3」は「10」と表記し、「4」は「11」と表記します。二進法、六進法、十進法との比較を以下の表に示します。

十進法	二進法	三進法	六進法	十進法
-	-	-	-	---
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	10	2	2	2
3	11	10	3	3
4	100	11	4	4
5	101	12	5	5
6	110	20	10	6
7	111	21	11	7
8	1000	22	12	8
9	1001	100	13	9
10	1010	101	14	10

三進法の演算

三進法での加算と乗算は以下の表のようになります。

加算	0	1	2
-	-	-	-
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

乗算	0	1	2
-	-	-	-
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	11

三進法では、`1/2 = 0.1111...`となり、割り切れません。これは、三進法の底である3が奇数であるためです。奇数進法では、1/2が割り切れないという特徴があります。しかし、三分の一については、0.1と割り切れる特徴を持ちます。

三進法の経済性

コンピュータで数を表現する際のコストを考えると、三進法が最も経済的であるという議論があります。N進法で1桁を表現するコストがNに比例すると仮定すると、最大値Mを表現するためのコストは N logN(M) となります。この値は、Nがネイピア数eの時に最小になりますが、e進法は現実的ではありません。前後の整数では、2進法と4進法が同じ値で、3進法が最も小さくなります。ただし、実際には二値素子の方が扱いやすく、三値素子は稀です。しかし、ソ連のコンピュータ「Setun」では平衡三進法が使われていました。

平衡三進法

平衡三進法は、各桁の値を-1、0、1とする記数法です。この方法では、負の数を表現するのに特別な記号は必要ありません。-1は `1̄`と表記します。例えば、十進法の4は、平衡三進法では「11̄」と表されます。これは `13^1 + (-1)3^0 = 3 - 1 = 2` となります。

平衡三進法は、ある桁で打ち切るだけで「一捨二入」の丸めになるという特徴があります。

平衡三進法の演算

平衡三進法の加算と乗算は以下のようになります。



減算は加算の結果を知っていれば簡単です。`1̄`と`1`を入れ替えて加算すれば良いです。しかし、除算は複雑です。

平衡三進法の特徴

平衡三進法は、数値を符号付きで直接表現できるため、計算機での実装が簡略化できる可能性があります。また、丸め処理が容易であるという利点があります。しかし、二進法に比べて応用は少ないです。

三進法と3値論理

三進法と3値論理は関連がありますが、同じではありません。3値論理は、真、偽、不定の3つの値を取る論理体系です。3値論理には、様々な論理演算が提案されていますが、必ずしも三進法と対応するわけではありません。3状態の素子を使うコンピュータでも、必ずしも3値論理の演算を持つとは限りません。

まとめ

三進法は、3を底とする数の表現方法であり、0、1、2の3つの数字を使用します。経済的な面で注目されることがありましたが、二値素子の方が扱いやすいため、広く使われることはありませんでした。しかし、平衡三進法という特殊な表現方法もあり、特定の用途においてはその利点が活かされています。

関連項目

二進法
六進法
九進法
十二進法
広義の記数法

参考文献

ヘンリー・S・ウォーレン・ジュニア『ハッカーのたのしみ』 ISBN 4434046683

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