バーガース方程式

バーガース方程式

流体力学の分野において、バーガース方程式は一次元の非線形波動を表現するための二階偏微分方程式であり、オランダの物理学者ヤン・バーガースにちなんで名付けられました。この方程式はナビエ-ストークス方程式の簡略化された形であり、圧力に関する項を無視した場合の挙動を示します。具体的には、次のような非線形の偏微分方程式として表されます。

$$
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} =
u \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
$$

ここで、$u(x, t)$は時間$t$と空間$x$の関数を示し、$
u$は動的粘性率を表す定数です。この方程式は、流体の運動を理解するために重要であり、移流項$u \frac{\partial u}{\partial x}$と散逸項$
u \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$の二つの主要な項から成り立っています。

方程式の構造と特性

バーガース方程式では、移流項は物質が移動する様子を、散逸項は流体のエネルギーがどのように拡散していくかを示します。$
u$がゼロである場合、散逸が存在せず、波が突っ立つ現象が生じて解が多価関数になることがあります。このような場合、波の形成が崩壊することがありますが、$
u$が正の値をとる場合、散逸項が存在するため波の崩壊は抑制され、波がより安定して伝播します。

コール・ホップ変換による解析

バーガース方程式は非線形であるため、直接的に解を求めるのは難しいですが、コール・ホップ変換と呼ばれる特別な変換を用いることで、解をより簡易に扱える形に変換することができます。具体的な変換は以下のように表されます。

$$
u = -2
u \frac{\partial}{\partial x} \log{\psi}
\qquad = -2
u \frac{\psi_{x}}{\psi}
$$

コール・ホップ変換を適用すると、バーガース方程式は以下のように線形な拡散方程式に帰着されます。

$$
\frac{\partial \psi}{\partial t} =
u \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}
$$

この変換により、非線形問題を線形の問題に転換することができ、解析が容易になります。これにより、数値シミュレーションや解析解の探索が可能となります。

参考文献

1. 巽友正『流体力学 (新物理学シリーズ)』培風館 (1995年) ISBN 978-4563024215
2. 戸田盛和『非線形波動とソリトン』日本評論社 (2000年) ISBN 978-4535783164

関連項目

• - ナビエ-ストークス方程式

このように、バーガース方程式は流体力学の中でも特に重要な役割を果たしており、非線形波動の理解や解析手法の発展に貢献しています。

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