拡散方程式

拡散方程式の概要

拡散方程式は、物質や物理量の密度の変化を説明する偏微分方程式です。この方程式は、様々な現象に適用されるため、特に集団遺伝学においては対立遺伝子の拡散などに利用されます。また、熱伝導の分野でも熱伝導方程式として表現されます。

数学的表現

拡散方程式の一般的な形は次のようになります。

$$
\frac{∂ϕ}{∂t} = ∇⋅\left(D(ϕ,\vec{r},t) ∇ϕ(\vec{r},t)\right)
$$

ここで、$\vec{r}$は位置を示し、$t$は時間を表します。$ϕ(\vec{r},t)$は拡散物質の密度を表し、$D(ϕ, \vec{r}, t)$は拡散係数（2階のテンソル量）、$∇$は空間微分作用素を表します。特に、$D$が定数であれば、方程式は線形になります。これは次のように書き換えられます。

$$
\frac{∂ϕ}{∂t} = D∇^{2}ϕ(\vec{r},t)
$$

ただし、$D$が他の変数に依存する場合は非線形方程式となり、$D$が正定値の対称行列である場合には異方的拡散が発生します。

導出方法

拡散方程式は、密度の変化が流入と流出によって生じると考えることで導かれます。物質の生成や消滅がない条件下で、以下の連続式が成り立ちます。

$$
\frac{∂ϕ}{∂t} + ∇⋅\vec{j} = 0
$$

ここで、$\vec{j}$は拡散物質のフラックスを指します。物質の流れは密度勾配に比例することを記述するフィックの法則と結びつけることで、拡散方程式に整理されます。

$$
\vec{j} = -D(ϕ)∇ϕ(\vec{r},t)
$$

特殊解の例

定常解

拡散係数$D$が一定である場合、定常解を容易に導出できます。例えば、1次元の場合は次のような形になります。

• - 1次元: $ϕ(r) = Ar + B$
• - 2次元円対称: $ϕ(r) = A log r + B$
• - 3次元球対称: $ϕ(r) = \frac{A}{r} + B$

ここで$r$は原点からの距離、$A$と$B$は境界条件から決まる定数です。

無限に長い棒の解

無限に長い棒の問題において、$D$が定数で、境界条件として$ϕ(±∞, t) = 0$および$ϕ(x, 0) = δ(x)$を設定します。この条件のもと、解は正規分布で表現されます。

$$
ϕ(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{πDt}}exp\left(-\frac{x^{2}}{4Dt}\right)
$$

この解から、時間が経過するにつれ分布が拡散していく様子が可視化されます。この特性はウィーナー過程と似た挙動を示します。

ボルツマン変換

1次元の拡散方程式において、$x$と$t$による変数変換を使うと、係数が変化する場合でも以下のような常微分方程式に変形することが示されています。

$$

• -\frac{λ}{2}\frac{dϕ}{dλ} = \frac{d}{dλ}\left(D\frac{dϕ}{dλ}\right)

$$

結論

拡散方程式は、物質やエネルギーの拡散を理解するための重要な数学的道具です。さまざまな現象に適用可能であり、その解析を通じて、自然界の動きや変化を深く理解する手助けとなります。

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