パウリ方程式

パウリ方程式とは

量子力学におけるパウリ方程式（またの名をシュレーディンガー・パウリ方程式）は、スピン1/2粒子と外部の電磁場との相互作用を記述した方程式です。これはシュレーディンガー方程式を基にしており、1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって定義されました。この方程式は、スピンと呼ばれる粒子の内部自由度を考慮に入れることで、特に磁場の影響を受ける粒子の動きを理解する助けとなります。

パウリ方程式の形式

パウリ方程式は、スピン1/2の粒子の運動を記述するために次のように表されます。まず、電磁場はベクトルポテンシャル \\({\boldsymbol{A}}\\) とスカラーポテンシャル \\({\phi}\\) で表現され、質量 \\(${m}\\) および電荷 \\(${q}\\) を持つ粒子に対して、パウリ方程式は以下の形になります：

$$
\text{(1)}\quad \hat{H} = \frac{1}{2m}\left[ \sigma \cdot \left( p - qA \right) \right]^{2} + q\phi
$$

ここで、\\(${\sigma}\\) はパウリ行列のベクトル形式（\\(${\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)\\)）、\\(${p}\\) は運動量演算子 \\({\boldsymbol{p}} = -i\hbar
abla\\) です。この表現の中で、\\(${\hat{H}}\\) はハミルトニアンと呼ばれ、粒子のエネルギーを示します。

スピンと運動の関係

スピンは、粒子の内部の自由度で、スピンの状態は通常、2成分スピノルとして表現されます。パウリ方程式においてハミルトニアンを用いることで、スピンが運動にどう影響するかがわかります。特に、外部の電磁場が存在する場合、粒子の動きにスピンが寄与することが示されます。

また、この方程式はディラック方程式とシュレーディンガー方程式の中間に位置くものであり、どちらの方程式とも関連しています。つまり、ディラック方程式がスピンを含む完全相対論的な形式であり、シュレーディンガー方程式がスピンを考慮しない非相対論的な形式であるのに対し、パウリ方程式は非相対論的ながらスピンを取り入れています。

特徴および応用

パウリ方程式の特筆すべき性質の一つは、磁場のベクトルポテンシャル \\(${\boldsymbol{A}} = 0\\) の場合、通常のシュレーディンガー方程式に簡約されることです。このことはスピンが電磁場の影響を受けるという特徴を保ちながら、スピンのない場合には通常の量子力学の枠組みに帰属することに注意を要します。

また、パウリ方程式はシュテルン＝ゲルラッハの実験とも関連しています。この実験では、スピンを持つ粒子が外部の磁場によって異なる経路に分かれることが監察されます。これにより、スピンと磁場の相互作用が可視化され、物理学のスピンに関する洞察が深まります。

このように、パウリ方程式は量子力学の重要な基礎となっているだけでなく、さまざまな物理的現象を理解する上で不可欠な役割を果たしています。

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