パウリ行列

パウリ行列：量子力学の基礎を支える行列

パウリ行列は、量子力学、特にスピン 1/2 の粒子の角運動量を記述する上で極めて重要な役割を果たす、3つの2×2の複素行列の集合です。物理学者ヴォルフガング・パウリによって1927年に導入されました。しばしばσ₁、σ₂、σ₃、もしくはσx、σy、σzと表記されます。

パウリ行列の定義

パウリ行列は以下の3つの行列で定義されます。

σ₁ = σₓ = 0, 1], [1, 0

σ₂ = σᵧ = 0, -i], [i, 0

σ₃ = σ⒵ = 1, 0], [0, -1

ここで、iは虚数単位です。しばしば、単位行列I = 1, 0], [0, 1 を含めた4つの行列をまとめてパウリ行列と呼ぶこともあります。

パウリ行列の基本的な性質

パウリ行列は、以下の重要な性質を持ちます。

1. エルミート性とユニタリ性: パウリ行列はエルミート行列であり、かつユニタリ行列でもあります。これは、σₖ† = σₖ かつ σₖ†σₖ = σₖσₖ† = I (k = 1, 2, 3) が成り立つことを意味します。

2. パウリ行列の積: パウリ行列同士の積は、以下の関係式を満たします。
σₖ² = I (k = 1, 2, 3)
σ₁σ₂ = -σ₂σ₁ = iσ₃
σ₂σ₃ = -σ₃σ₂ = iσ₁
σ₃σ₁ = -σ₁σ₃ = iσ₂
これらの関係式は、クロネッカーのデルタδᵢⱼとエディントンのイプシロンεᵢⱼₖを用いて、より簡潔に表現できます。σᵢσⱼ = δᵢⱼI + iεᵢⱼₖσₖ (i, j, k = 1, 2, 3)

3. 交換関係と反交換関係: パウリ行列の交換関係と反交換関係は、それぞれ以下のようになります。
[σᵢ, σⱼ] = σᵢσⱼ - σⱼσᵢ = 2iεᵢⱼₖσₖ
{σᵢ, σⱼ} = σᵢσⱼ + σⱼσᵢ = 2δᵢⱼI

4. 固有値と固有ベクトル: 各パウリ行列は、固有値 +1 と -1 を持ちます。それぞれの規格化された固有ベクトルは計算によって求めることができます。

5. トレースと行列式: パウリ行列σₖ(k=1,2,3)のトレースは0、行列式は-1です。単位行列Iを含めると、Tr(σ₀)=2, det(σ₀)=1となります。さらに、Tr(σμσν)=2δμν (μ,ν=0,1,2,3)が成り立ちます。

パウリ行列の応用

パウリ行列は、量子力学における様々な現象の記述に用いられます。

1. スピン角運動量: スピン1/2粒子のスピン角運動量は、パウリ行列を用いて表現されます。

2. 量子ビット: 量子計算において、量子ビットの状態を表すためにパウリ行列が用いられます。

3. ガンマ行列の表現: パウリ行列は、相対論的量子力学で重要な役割を果たすガンマ行列の表現を構成するのに使われます。ディラック表現などが知られています。

4. SU(2)の生成子: パウリ行列は、SU(2)という重要なリー群に対応するリー代数の生成子として作用します。

5. 四元数の表現: パウリ行列は、四元数の行列表現を与えるためにも用いられます。

6. 部分偏極状態: パウリ行列を用いて部分偏極状態を表現することで、光学における偏光状態などを記述できます。

7. 複素行列の展開: 任意の複素2次正方行列は、パウリ行列と単位行列の線形結合で展開できます。この展開係数は、トレースを用いて計算できます。

まとめ

パウリ行列は、その簡潔な表現と豊富な性質から、量子力学や関連する分野において不可欠な数学的ツールとなっています。その性質を理解することは、量子現象を深く理解する上で非常に重要です。 さらに、群論やリー代数といった数学的構造との深い関わりも持ち、数学と物理学の架け橋としての役割も果たしています。

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