ヒルベルトスキーム

ヒルベルトスキームの概要

代数幾何学におけるヒルベルトスキームとは、周多様体を精密化した、射影空間やより一般的な射影スキームの閉部分スキームのパラメータ空間です。このスキームは、ヒルベルト多項式に従った閉部分スキームの共通点を持たない合併として定義されます。ヒルベルトスキームの理論は1961年にアレクサンドル・グロタンディエクによって開発されました。この理論は、非射影多様体が無条件でヒルベルトスキームを持たないという実例でも示されています。

射影空間におけるヒルベルトスキーム

射影空間Pnにおけるヒルベルトスキーム、すなわちHilb(n)は、任意の局所ネータースキームSに対して、Sに値を持つヒルベルトスキームの点の集合Hom(S, Hilb(n))が、S上に平坦であるPn × Sの閉スキームの集合に自然に同型であることを示します。これにより、Hilb(n)はヒルベルト多項式Pを持つ射影空間の部分スキームとして整理され、他の部分スキームとの共通部分を持たないように構成されています。これらの部分は、Spec(Z)において射影的であるとされます。

ヒルベルトスキームの構成と性質

グロタンディエクは、ネータースキームS上のn次元射影空間のヒルベルトスキームHilb(n)Sを、判別式を用いて定義しました。このヒルベルトスキームは、T上のスキームに対して、平坦なPn × S Tの閉部分スキームとしての点を持つ函手を表現します。部分スキームXがn次元射影空間に存在すれば、次のように関連づけられます：Xは次数付き部分であるIX(m)を持ち、これがn + 1変数の多項式環Sの次数付きイデアルIXに対応します。

十分大きなmにおいて、O(m)に係数を持つ全ての高次コホモロジー群は0となり、IX(m)は次元Q(m)−P(m)を持つことがわかります。ここでQは射影空間のヒルベルト多項式です。mを大きくすると、(Q(m)−P(m))-次元空間IX(m)はQ(m)-次元空間S(m)の部分空間であり、これを基にしたグラスマン多様体Gr(Q(m)−P(m), Q(m))の点を表現します。さらなる分析により、これらの理論は特別な条件を満たすことで成り立つことが示されます。

ヒルベルトスキームの変形と特徴

ヒルベルトスキームは、任意の射影スキームXに対しても同様の方法で定義可能であり、Xの閉点に対応します。このように、さまざまな性質があります。マカレイによる研究では、ヒルベルトスキームが空ではないこと、そしてハートショーンによって、連結成分が同じヒルベルト多項式を持つことが示されています。これにより、ヒルベルトスキームは多様な数学的性質を有しますが、すべての点で被約ではない既約成分を持つことがあるため、特異点を含む場合があります。

多様体上のヒルベルトスキーム

ヒルベルトスキームは特に0次元の部分スキームに関するもので、特定の点の集合を解析することで考えられます。0次元スキームを用いることにより、サイクルの周多様体へのヒルベルト・周の射が存在します。特に、曲線C上の点のヒルベルトスキームは、Cの対称べきに同型であることが示されています。

スムーズな多様体上のヒルベルトスキームは、一般的に滑らかでないことが多いですが、特定の次元においては滑らかさを維持することもあります。また、ヒルベルトスキームの一部は、K3曲面やトーラスのような特定の多様体と関連付けられています。これにより、超ケーラー多様体と接続し、様々な数学的構造を生み出しました。

結論

ヒルベルトスキームは、代数幾何学において重要な役割を果たしている概念であり、射影空間の閉部分スキームのパラメータ空間として多くの応用が見込まれます。その構成や性質は、数学研究においてさらなる探求を促し、さまざまな分野に影響を与えています。

もう一度検索