判別式

判別式

数学における判別式（はんべつしき、英: discriminant）は、与えられた多項式の根に重複するものが存在するかどうかを判定するための、その多項式の係数から計算される多項式です。判別式がゼロであることと、多項式が重根を持つことは同値です。この概念は、代数方程式の解の性質を理解する上で非常に重要です。

「discriminant」という用語は、1851年にイギリスの数学者ジェームス・ジョセフ・シルヴェスターによって造られました。通常、判別式は記号DまたはΔで表記されます。

定義

$n$次多項式 $f(x) = a_nx^n + \cdots + a_0$ （$a_n
eq 0$）の根を $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ とすると、判別式 $D$ は根の差積の平方に最高次係数の冪を乗じたものとして定義されます。

$$ D = {a_n}^{2n-2} \prod_{i, j (i
この式がゼロになるのは、異なる根の差 $\alpha_i - \alpha_j$ がゼロ、つまり $\alpha_i = \alpha_j$ となる組が存在する場合に限られます。したがって、$D=0$ は多項式が重根を持つ必要十分条件です。

判別式は根に関する対称式であるため、根と係数の関係を用いて、必ず多項式の係数 $a_n, \dots, a_0$ の多項式として表すことができます。この係数表示を求めるには、多項式 $f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ の終結式 $\operatorname{Res}(f, f')$ を利用するのが一般的です。判別式は終結式を用いて次のように定義されます。

$$ D = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}(f, f') $$

終結式は係数から構成されるある特定の行列の行列式であり、この表示は係数から直接判別式の値を計算する際に有効です。

次数ごとの例

よく知られている例として、低次方程式の判別式があります。

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $\Delta = b^2 - 4ac$ です。
三次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の判別式は $\Delta = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd$ です。
四次方程式の判別式は、三次よりもさらに複雑な多項式になります。

次数が上がるにつれて、判別式の係数による表示は非常に長大になります。

解の性質との関連

判別式がゼロであることは重根の存在と同値です。特に実数係数を持つ多項式においては、判別式の符号によって実数解の個数や性質を知る手がかりが得られます。

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a, b, c \in \mathbb{R}$）の場合、判別式 $\Delta = b^2 - 4ac$ の符号が実数解の個数を決定します。
$\Delta > 0$: 異なる2つの実数解。
$\Delta = 0$: 重複度2の1つの実数解（重解）。
$\Delta < 0$: 異なる2つの共役な虚数解（実数解なし）。

二次方程式の解の公式には判別式が登場しますが、五次以上の代数方程式には一般に解の公式が存在しません。しかし、判別式の概念は高次方程式に対しても常に定義されます。

三次以上の実数係数多項式では、$D=0$ は重根の存在を示しますが、判別式の符号だけでは実数解の個数を一意に特定できない場合があります。例えば三次方程式では、判別式が正でも負でも実数解は少なくとも1つ存在し、その個数は符号だけでなく追加の条件によって決まります。

一般化

判別式の概念は、多項式の係数が複素数体以外の環に属する場合にも適用可能です。係数が整域Rに属していれば、判別式もRの元となります。例えば、整数係数多項式の判別式は整数です。

また、判別式は多項式以外の代数的対象にも拡張されています。

円錐曲線：二次形式の判別式 $B^2 - 4AC$ が曲線のタイプ（楕円、放物線、双曲線）を分類します。
二次形式：より一般の二次形式についても、対応する行列の行列式が定義されます。
代数体：代数的整数論における代数体の判別式は、体の性質、特に分岐点に関する重要な情報を提供します。

このように、判別式は様々な数学的分野で重要な役割を果たしています。

交代式との関連

判別式の平方根にあたる根の差積は、根の置換によって符号が反転する交代式です。判別式はその平方であるため対称式となります。この性質は、ガロア理論において体の拡大と根の置換群の関係を調べる上で基本的な概念となります。

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