ビュフォンの麺

ビュフォンの麺：幾何学的確率論の興味深い問題

ビュフォンの麺は、18世紀の博物学者ビュフォンにちなんで名付けられた「ビュフォンの針」という有名な確率問題の変形です。この問題は、幾何学的確率論における初期の成功例として知られています。

ビュフォンの針とは

まず、基本的な「ビュフォンの針」の問題を振り返りましょう。等間隔に平行線が引かれた平面に、長さ \(l\) の針をランダムに落とします。平行線間の距離を \(D\) とするとき、針が平行線と交わる確率はいくらでしょうか？

この問題を解くために、針の向きと平行線群の法線がなす角を \(\theta\) 、針の中点と最も近い平行線との距離を \(x\) とします。針が平行線と交わる条件は、次の式で表されます。

\[
x < \frac{l \cos \theta}{2}
\]

ここで、\(x\) と \(\theta\) はそれぞれ一様分布に従う確率変数であり、標本空間は \(\frac{D}{2}\) と \(\frac{\pi}{2}\) を辺の長さとする長方形で表されます。針が交わる事象は、この標本空間内で曲線 \(x = \frac{l}{2} \cos \theta\) によって区切られた領域に対応し、その面積は \(\frac{l}{2}\) となります。標本空間全体の面積は \(\frac{D\pi}{4}\) であるため、針が交わる確率は次のようになります。

\[
P = \frac{2l}{\pi D}
\]

ビュフォンの麺：針を曲げたらどうなる？

興味深いことに、この確率は針をどのように曲げても、それが同一平面上にある限り変わらないのです。つまり、針を自由に折り曲げて「麺」のような形状にした場合でも、平行線と交わる回数の期待値は変わらないということです。

ただし、麺の全長が平行線間の距離以下であるという制約をいったん取り払うと、話は少し複雑になります。麺が平行線群と交わる回数の確率分布は、その形状に依存するようになります。しかし、交わる回数の期待値は、依然として麺の全長 \(L\) と平行線間の距離 \(D\) だけで決まります。

これを理解するために、まず麺が \(n\) 本の線分からなる折れ線であると仮定します。\(X_i\) を \(i\) 番目の線分が平行線群と交わる回数とすると、これらの確率変数は独立ではありませんが、期待値の加法性により、次の式が成り立ちます。

\[
E(X_1 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n)
\]

曲線である麺をこのような折れ線の極限と考えると、平行線群と交わる回数の期待値は曲線の弧長に比例すると推論できます。したがって、問題は弧長 \(L\) に乗じて期待値を得るための比例定数を定めることに帰着します。ここで、麺が平行線間の距離 \(D\) と等しい直径を持つ真円だとすると、\(L = \pi D\) であり、交わる回数は必ずちょうど2回になります。したがって、\(L = \pi D\) のとき期待値は2であるため、一般に、交わる回数の期待値は \(\frac{2L}{\pi D}\) でなければなりません。

定幅閉曲線の場合

さらに驚くべきことに、麺が幅 \(D\) の定幅閉曲線である場合、交わる回数は常に2回になります。これは、バルビエの定理（幅が等しい定幅閉曲線の周長は等しい）からも導かれる結論です。

ビュフォンの麺の問題は、幾何学的確率論の奥深さと、直感に反するような結果が生まれる面白さを教えてくれます。

参考文献

Ramaley, J. F. (1969). “Buffon's Noodle Problem”. The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 76 (8): 916–918.

外部リンク

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