一様分布

一様分布：すべての事象が平等な確率分布

一様分布とは、確率論において、離散的または連続的な確率変数が、定義域内のすべての値を同じ確率で取る確率分布です。 分かりやすく言えば、すべての事象が起こる可能性が均等である状態を表すモデルです。

例えば、公平なサイコロを振る場合、それぞれの目（1から6）が出る確率はすべて1/6となり、これは離散一様分布の典型例です。 同様に、ある範囲内でランダムに点を打つ場合、その点が範囲内のどの位置に現れる確率も等しくなるような分布も一様分布となります。これは連続一様分布の例です。

離散一様分布と連続一様分布

一様分布は、確率変数の種類によって、離散一様分布と連続一様分布に分類されます。

離散一様分布は、確率変数が有限個の整数値しか取らない場合に適用されます。先のサイコロの例がまさにこれにあたります。各値の確率は、値の総数分の1となります。

連続一様分布は、確率変数が与えられた区間内の任意の実数値を取りうる場合に適用されます。例えば、0から1までの間の任意の実数をランダムに選ぶ場合などが該当します。この場合、確率密度関数は区間内で一定の値を取り、区間外では0となります。

一様分布の性質

一様分布は、そのシンプルさゆえに、統計学や確率論における基本的な概念として重要な役割を果たします。主な性質は以下の通りです。

期待値: 離散型、連続型いずれの場合も、期待値は定義域の中央値となります。サイコロであれば(1+6)/2 = 3.5です。
分散: 分散は、定義域の広さに依存します。定義域が広いほど分散は大きくなります。
歪度: 連続一様分布の歪度は0です。これは、分布が左右対称であることを示しています。
尖度: 連続一様分布の尖度は-1.2です。これは、正規分布に比べて裾が短く、中心にデータが集中していることを示唆しています。

一様分布と生態学

生態学の文脈では、一様分布は個体群の空間分布パターンの一つとして理解されます。個体間がほぼ等距離に分布している状態を一様分布と呼びます。これは、個体間の競争や資源の均等な利用などが原因として考えられます。 ただし、自然界においては、完全な一様分布は稀であり、多くの場合、ランダム分布や凝集分布といった他の分布パターンが観測されます。

日本工業規格（JIS）における定義

日本工業規格（JIS Z 8101-1）では、一様分布を以下のように定義しています。

(1) 連続分布の場合：確率密度関数が有限区間[a, b]で一定の値をとり、区間外では0となる分布。
(2) 離散分布の場合：n個の点で等しい確率 Pr(X = xi) = 1/n (i = 1, 2, ..., n) となる分布。

参考文献

蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003)
B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002)
M. Galassi et al. (富永大介訳), GNU Scientific Library リファレンスマニュアル ver. 1.8, p. 178 (2006)
西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年
日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年
JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会
* 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年

これらの文献は、一様分布に関するより詳細な情報や数学的な記述を提供しています。

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