ビーティ数列

ビーティ列について

ビーティ列（Beatty sequence）は、1より大きい無理数の整数倍の床関数を用いて作成される整数列です。この概念は1926年にサミュエル・ビーティによって導入され、彼の名前にちなんで命名されました。ビーティ列は、正の無理数rに対して次のように定義されます：

$$ \mathcal{B}_r = \left\lfloor r \right\rfloor, \left\lfloor 2r \right\rfloor, \left\lfloor 3r \right\rfloor, \ldots $$

つまり、整数nに対し、$\left\lfloor nr \right\rfloor$の形で得られる整数の列です。ここで、$\lfloor x \rfloor$はxの床関数、すなわちx未満の最大の整数を表します。この定義から、$r > 1$であれば、$s = \frac{r}{r - 1}$もまた1より大きい無理数が存在し、これらrとsによって生成される2つのビーティ列は互いに相補的な関係を持ちます。

レイリーの定理

レイリーの定理、あるいはビーティの定理は、任意の無理数$r > 1$に対して、無理数$s > 1$が存在し、これによりビーティ列$\mathcal{B}_r$と$\mathcal{B}_s$が正整数集合を正確に分割することを示しています。この特性は、各正整数がいずれか一方のビーティ列のみに属することを意味しています。

ビーティ列の例

例1: 黄金比の場合

黄金比$r = \phi$の場合、$s = \phi + 1 = \phi^2$とし、得られるビーティ列は：

• - $\mathcal{B}_r$: 1, 3, 4, 6, 8, ... (下ワイソフ列)
• - $\mathcal{B}_s$: 2, 5, 7, 10, 13, ... (上ワイソフ列)

ここで、これらの列はワイソフゲームの必勝形を与える際に利用されます。

例2: √2の場合

$r = \sqrt{2}$とすると、$s = 2 + \sqrt{2}$となり、次のようなビーティ数列が生成されます：

• - $\mathcal{B}_r$: 1, 2, 4, 5, 7, ...
• - $\mathcal{B}_s$: 3, 6, 10, 13, ...

例3: πの場合

$r = \pi$では、$s = \frac{\pi}{\pi - 1}$とし、ビーティ数列は次のとおりです：

• - $\mathcal{B}_r$: 3, 6, 9, 12, ...
• - $\mathcal{B}_s$: 1, 2, 4, 5, ...

歴史的背景

ビーティ列の名前は、サミュエル・ビーティがその性質を1956年に提案した問題に由来します。この問題は、同年の雑誌「American Mathematical Monthly」に掲載され、多くの数学者に引用されるほど有名なものとなりました。しかし、ビーティ列に似た概念は1894年にレイリーによっても言及されており、彼の著作『The Theory of Sound』の中で確認できます。

性質と関連性

ビーティ列の中にある任意の数$m$が$\mathcal{B}_r$に属するための条件は、$1 - \frac{1}{r} < \left[ \frac{m}{r} \right]_1$であるとされます。この条件は、ビーティ列の特性を理解するために重要です。また、ビーティ列に関連するスツルム語の生成にも利用され、ビーティ列が数学に与える影響は広範囲に及びます。

さらに、ランベック–モーザーの定理は、レイリーの定理をより一般的な形に拡張することに成功しており、整数に対するより一般的な列の対も同様の性質を持ちます。ビーティ列に対する概念は、無理数に関連する非常に興味深い数学的問題として研究されています。

参考文献

• - Holshouser, Arthur; Reiter, Harold “A generalization of Beatty's Theorem”, Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 2001.
• - Stolarsky, Kenneth “Beatty sequences, continued fractions, and certain shift operators”, Canadian Mathematical Bulletin, 1976.

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