ファトゥ成分の分類

数学の一分野である複素力学系において、ファトゥ成分とは、ある関数の反復合成に関するファトゥ集合の連結成分を指します。ファトゥ集合とは、複素平面上の点の集合のうち、その点から開始する関数の反復合成の列が、局所的に正規族をなす、すなわち点のわずかな初期値の変動に対して軌道の振る舞いが安定している領域のことです。ファトゥ成分は、この安定領域であるファトゥ集合を構成する個々の部分領域です。

特に、拡張複素平面上で定義された次数が2以上の非線型な有理関数 $f(z) = P(z)/Q(z)$ の場合を考えます。ここで $P(z)$ と $Q(z)$ は多項式であり、その次数の最大値 $\max(\deg(P),\,\deg(Q)) \geq 2$ であるとします。このような有理関数におけるファトゥ集合の周期的な成分は、以下のいずれか一つのタイプに分類されることが知られています。

1. 吸引周期点を含む領域（吸引領域）: このタイプのファトゥ成分では、領域内の任意の点から出発する関数の反復合成の列は、領域内に存在する吸引周期点に収束します。吸引周期点とは、その点の近傍の点が反復によってその点に引き寄せられるような周期点です。
2. 放物型領域: このタイプのファトゥ成分では、領域内の点の軌道は、境界上にある放物型周期点に近づいていきます。放物型周期点とは、その点における関数の導関数の絶対値が1であるような周期点の中でも特殊な性質を持つ点です。
3. ジーゲル円板: これは、領域全体が解析的にある円板上でのユークリッド回転と同等な振る舞いを示すファトゥ成分です。具体的には、関数 $f(z)$ がこのジーゲル円板を自身に写し、領域上での $f$ の作用が、ある回転角を持つ単純な回転変換と解析的に共役になる場合に発生します。このような状況は、関数の線形化が十分に「非共鳴」な回転である場合に起こり得ます。
4. エルマン環: ジーゲル円板と同様に回転と関連しますが、こちらは解析的にある環状領域（アニュラス）上でのユークリッド回転と同等な振る舞いを示すファトゥ成分です。これは、関数 $f(z)$ がこのエルマン環を自身に写し、領域上での $f$ の作用が、ある回転角を持つ回転変換と解析的に共役になる場合に発生します。

ジーゲル円板とエルマン環は、関数の反復が領域内で周期的な回転運動に解析的に共役な振る舞いを示す、特殊で興味深いタイプのファトゥ成分です。

いくつかの例を挙げます。

吸引周期点を持つ成分: 方程式 $z^3 = 1$ の解をニュートン・ラフソン法で見つける際に用いられる関数を考えます。

f(z) = z - (z^3-1)/3z^2

この関数による反復は、$z^3=1$ の3つの解である $1, e^{2\pi i/3}, e^{4\pi i/3}$ のいずれかに収束します。これらの解は、この関数の吸引的な不動点（周期1の吸引周期点）です。それぞれの吸引不動点の周りには、反復によってその不動点に引き寄せられる点の集まり、すなわち吸引領域としてのファトゥ成分が存在します。

エルマン環: エルマン環が存在する関数の例としては、宍倉光広氏によって構成された関数が知られています。

f(z) = e^{2\pi it}z^2(z-4)/(1-4z)

ここで $t$ はある特定の無理数（例えば $t \approx 0.6151732$）です。この関数は次数が3以上であり、そのファトゥ集合内にエルマン環と呼ばれる回転型の成分が存在することが示されています。

有理関数や多項式の場合とは異なり、超越関数（無限個の特異点や真性特異点を持つ関数）の複素力学系では、ベーカー領域と呼ばれる特別な種類のファトゥ成分が存在します。ベーカー領域とは、その領域内の点から始まる反復列が、有限の複素平面内の特定の点に収束するのではなく、関数の真性特異点に漸近的に近づいていくような領域です。これは、多項式や有理関数の力学系では決して起こり得ない現象です。超越関数の例として、以下の関数には、このようなベーカー領域が存在することが知られています。

f(z) = z - 1 + (1-2z)e^z


ファトゥ成分は、複素力学系における点の軌道の長期的な安定性を理解する上で不可欠な概念であり、ジュリア集合と合わせて関数の複素平面上での力学的な振る舞いの全体像を描き出す上で重要な役割を果たします。

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