ジュリア集合

ジュリア集合：複素力学系のフラクタル図形

複素力学系において、ジュリア集合は魅力的なフラクタル図形として知られています。その定義は、複素平面上の点の集合であり、ある複素関数を繰り返し適用しても、無限遠点に発散しない点の集合の境界として特徴付けられます。より厳密には、反復写像の族が正規族とならない点の集合として定義されます。

ジュリア集合の定義

リーマン球面 ˆC からそれ自身への正則関数 f: ˆC → ˆC を考えます。f の n 回反復合成を fⁿ(z) と表します。ある点 z の近傍 U(z) 上で、反復写像の族 {fⁿ|U}∞n=1 が正規族となるとき、そのような点全体の集合をファトゥ集合 Ff と呼びます。そして、ジュリア集合 Jf は、ファトゥ集合の補集合として定義されます。つまり、Jf = ˆC \ Ff です。

この定義は、有理関数や有理型関数など、一般的な複素関数に対して適用できます。特に、複素多項式 P(z) = aₙzⁿ + aₙ₋₁zⁿ₋₁ + ... + a₀ の場合は、充填ジュリア集合 KP を用いた定義も可能です。充填ジュリア集合 KP とは、反復によって無限遠点に発散しない点 z の集合、すなわち {z ∈ C | limₙ→∞ Pⁿ(z) ↛ ∞} として定義されます。この場合、ジュリア集合 JP は充填ジュリア集合 KP の境界、すなわち JP = ∂KP と定義されます。多項式関数の場合は、この定義と先の定義は同値になります。

簡単な例：P(z) = z²

最もシンプルな例として、P(z) = z² という関数を見てみましょう。これは、複素数 z を2乗する関数です。極形式 z = |z|eⁱθ を用いると、k 回反復後の値は Pᵏ(z) = |z|²ᵏeⁱ(²ᵏθ) となります。|z| < 1 ならば k → ∞ で Pᵏ(z) → 0、|z| > 1 ならば k → ∞ で Pᵏ(z) → ∞ となります。|z| = 1 の場合は、Pᵏ(z) は常に単位円上に留まります。この場合、充填ジュリア集合 KP は単位円板 {|z| ≤ 1}、ジュリア集合 JP は単位円 {|z| = 1} となります。

ジュリア集合の基本的性質

ジュリア集合はいくつかの重要な性質を持ちます。まず、ファトゥ集合が開集合であることから、ジュリア集合は閉集合です。また、空集合ではなく、完全集合（孤立点を持たない集合）であり、完全不変（f(J) ⊂ J かつ f⁻¹(J) ⊂ J）です。Jf が C または ˆC と一致しない限り、内点を持たないことが知られています。多項式関数の場合は常に内点を持たないことが保証されています。

ジュリア集合の点 z の近傍 U を考えると、モンテルの定理より、集合 EU = ˆC \ ∪ₙ=₁∞ fⁿ(U) は高々2点しか含みません。これらの点を例外点と呼びます。多項式関数の場合は ∞ が例外点となります。また、モンテルの定理から、ジュリア集合は f に関して完全不変である最小の閉集合として特徴付けられます。

周期点とジュリア集合

ジュリア集合に属する点の判定は一般的に困難ですが、周期点については判定が容易です。z₀ が n 周期点で、λ = (dfⁿ/dz)(z₀) が |λ| > 1 を満たす場合、z₀ を反発周期点と呼びます。|λ| = 1 かつ λᵐ = 1 を満たす自然数 m が存在する場合、z₀ を有理的中立周期点と呼びます。反発周期点または有理的中立周期点はジュリア集合に属します。特に、超越整関数または2次以上の有理関数の反発周期点全体はジュリア集合において稠密です。

充填ジュリア集合とジュリア集合の一致

ジュリア集合 Jf は充填ジュリア集合 Kf の境界ですが、Kf が内点を持たない場合、Jf = Kf となります。このような場合、ジュリア集合はカントール集合や樹形突起になることがあります。Jf がカントール集合とは、コンパクト、全不連結、孤立点を持たない場合を指し、樹形突起とは、コンパクト、連結かつ局所連結で内点を持たず、C \ Jf が連結な場合を指します。全不連結なジュリア集合はファトゥ塵などとも呼ばれます。

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