超越関数

超越関数とは

超越関数とは、簡単に言うと、多項式方程式の解として表せない関数のことです。これは、加算、乗算、冪根といった代数的な操作を有限回繰り返しても表現できない、という意味で「代数」の枠を「超越」していると言えます。

代数関数との違い

超越関数と対比されるのが代数関数です。代数関数は、多項式を係数とする代数方程式の解として表せる関数のことを指します。具体的には、多項式や有理関数、有理関数の平方根などが代数関数にあたります。

超越関数は代数関数ではない解析関数です。例えば、以下のような関数が超越関数の例として挙げられます。

指数関数
対数関数
三角関数
逆三角関数

これらの関数は、代数的な操作だけでは表現できない、特有の性質を持っています。

超越関数の生成

興味深いことに、ある関数の不定積分が超越関数になる場合があります。例えば、逆数関数の不定積分は対数関数になります。どのような場合に不定積分が超越関数を生成するかは、微分代数という分野で研究されています。

次元解析における注意点

物理学などで用いられる次元解析では、超越関数の引数は無次元でなければなりません。例えば、`log(10 m)` のように、次元を持つ値を引数にすることはできません。これは、超越関数が代数的な操作ではないため、次元を持つ値に適用すると意味をなさなくなるためです。

まとめ

超越関数は、代数関数の枠を超えた、複雑で興味深い性質を持つ関数です。数学や物理学など、様々な分野で重要な役割を果たしています。

参考文献

青木雅史、坂上隆信, 福島恭之介, 山中宙夢『超越数について』明治大学、2017年、1-53頁。
Alin Bostan, Xavier Caruso, and Julien Roques: "Algebraic Solutions of Linear Differential Equations: An Arithmetic Approach", Bull. AMS, V61(4), (Oct.2024), pp.609-658.

関連項目

関数一覧
超越数 - 同じく代数的に表現可能な枠組みを超越する数。

外部リンク

超越関数の定義
『超越関数』 - コトバンク

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