有理関数

有理関数：定義と性質

有理関数とは、2つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として表現できる関数のことを指します。例えば、f(x) = (x² + 1) / (x - 2) は有理関数です。ここで、分子と分母はどちらもxの多項式であり、分母はゼロ多項式（常に0になる多項式）であってはいけません。

有理関数の定義域は、分母が0にならないxの値全体です。上記の例では、x = 2 は定義域から除外されます。なぜなら、x = 2 を代入すると分母が0になり、関数が定義されないからです。

有理関数は、多項式関数のように滑らかな曲線を描くとは限りません。定義域外に特異点を持つことがあり、その点では関数の値が定義されなかったり、無限大に発散したりします。この特異点の挙動を調べることは、有理関数の解析において重要です。

有理関数の例

いくつかの具体的な例を通して、有理関数の性質を理解しましょう。

例1: f(x) = (x³ - 2x) / (2(x² - 5))
この関数は、x² = 5、つまり x = ±√5 のとき定義されません。これらの点は、関数の垂直漸近線となります。また、xが無限大に近づくにつれて、f(x) は x/2 に近づきます。これは、y = x/2 が斜め漸近線であることを意味します。

例2: f(x) = (x² + 2) / (x² + 1)
この関数は、実数の範囲では常に定義されています。しかし、複素数の範囲では、x = ±i（虚数単位）のとき定義されません。これらの点は、関数の垂直漸近線となります。

例3: f(x) = x² + 1
これは、分母を1とみなせるため、有理関数です。これは、単純な多項式関数でもあります。

例4: f(x) = π
これは、分母を1、分子をπとみなせるため、定数関数でありながら有理関数でもあります。πが無理数であることと、f(x)が有理関数であることは矛盾しません。関数自体が有理関数であるか否かと、その関数の値が有理数であるか否かは別の問題です。

有理関数の不定積分

有理関数の不定積分は、必ずしも有理関数で表されるとは限りません。しかし、有理関数と対数関数、逆正接関数などを組み合わせることで、常に積分を表現できます。

実係数の一変数有理関数の場合、部分分数分解を用いることで、積分をより簡単に求めることができます。部分分数分解とは、有理関数をいくつかのより単純な有理関数の和に分解する手法です。

具体的な部分分数分解と、それぞれの項の積分公式は、非常に複雑な数式となるため、ここでは省略します。しかし、重要なのは、どんな実係数の一変数有理関数でも、部分分数分解と基本的な積分公式を用いることで、不定積分を計算できるということです。

複素係数の一変数有理関数の不定積分は、さらに簡潔に有理関数と対数関数のみで表現可能です。

有理関数の応用

有理関数は、数学の様々な分野で応用されています。

高校数学: 多項式や反比例関数といった基本的な関数を理解した後に学ぶ、比較的初歩的な関数の一つです。

抽象代[[数学]]: 体論、特に体の拡大において重要な役割を果たします。

* 数値解析: 関数の近似や補間などに用いられます。パデ近似はその代表例で、有理関数を用いた近似は、計算機代数システムなど、数値計算ソフトウェアに適しています。これは、有理関数が多項式と同様に計算が容易でありながら、多項式よりも幅広い関数を表現できるためです。

有理型関数との違い

有理型関数は、複素解析で扱われる概念で、有理関数とは異なります。日本語では名称が似ていますが、数学的な定義は全く別物です。有理関数は常に有理型関数ですが、有理型関数が常に有理関数であるとは限りません。この違いを理解することは重要です。

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