フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス

ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（Georg Ferdinand Frobenius, 1849-1917）は、19世紀後半から20世紀初頭にかけて、代数学を中心に数学の様々な分野に決定的な貢献をしました。

生涯

1849年、プロイセン王国の首都ベルリンに生を受けたフロベニウスは、故郷で基礎教育を受けた後、1867年にゲッティンゲン大学に進学しました。当時のゲッティンゲンは、リーマンやガウスの流れを汲む数学研究の中心地でしたが、彼はすぐにベルリン大学に移籍します。ベルリン大学では、ヴァイエルシュトラスやクロネッカーといった著名な数学者のもとで学び、1870年には博士号を取得しました。彼の博士論文は、微分方程式に関するものでした。

学位取得後、1874年にはベルリン大学の助教授に就任しましたが、翌1875年にはスイスのチューリッヒ工科大学（ETH Zürich）へ教授として招かれます。彼はこの地で25年以上にわたり教鞭をとり、数々の重要な研究成果を生み出しました。1902年には、母校であるベルリン大学の教授職を得てドイツに戻り、そこで生涯を終えるまで教育と研究に専念しました。

主な業績

フロベニウスの学術的な功績は非常に多岐にわたりますが、特に代数学における貢献が大きく評価されています。

その一つは、行列に関する基本的な定理であるケイリー・ハミルトンの定理について、より一般的な場合に対する厳密な証明を1878年に初めて与えたことです。この定理は線形代数学の根幹をなすものであり、その確立に寄与しました。

しかし、彼の最も革新的で影響力のある業績は、群論、特に有限群の表現論の分野にあります。彼は群の指標（Character of a group）という概念を導入し、抽象的な群の構造を行列や線形写像といった具体的な形で「表現」する理論を系統的に構築しました。この表現論は、有限群の構造を調べる強力な手段となり、この分野を実質的に完成させたと評価されています。驚くべきことに、彼が築いた有限群の表現論は、後に20世紀に入って発展する量子力学において、粒子の対称性を記述するための不可欠な数学的枠組みとして広く応用されることになりました。

さらに、代数的整数論の分野においても、彼は重要な発見をしています。体のガロア拡大において、素イデアルの分解の様子と結びつくフロベニウス置換（Frobenius automorphism）と呼ばれる写像の概念を導入しました。これは、数論的情報を代数的な構造と結びつける深遠な概念であり、現代の整数論においても基本的な役割を果たしています。

その名を冠する概念

フロベニウスの数学への広範な貢献は、多くの数学的概念にその名が冠されていることからも明らかです。

フロベニウスの定理（可除代数に関するものなど複数）
コーシー・フロベニウスの補題（バーンサイドの補題としても知られる）
フロベニウス内積、フロベニウスノルム
フロベニウス自己準同型
フロベニウス多項式（加法的多項式に関連）
準フロベニウス環、フロベニウス多元環
フロベニウスの硬貨交換問題（またはマクノートン問題）
ペロン＝フロベニウスの定理（非負行列の固有値に関する重要な定理で、数値線形代数などに応用）

これらの概念は、代数学、線形代数学、数論、組み合わせ論、数値解析など、数学の様々な分野にわたっており、フロベニウスの研究がいかに多岐にわたり、後世に大きな影響を与えたかを示しています。

フロベニウスの業績は、抽象代数学の発展に礎を築き、その応用範囲を現代科学にまで広げたという点で、数学史において極めて重要な位置を占めています。彼の研究は、今日でも多くの数学者にとって基本的なツールであり続けています。

（フロベニウスの著作は、J.-P. セール編纂の『Gesammelte Abhandlungen（全集）』として Springer-Verlag より出版されています。）

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