フェルミの黄金律

フェルミの黄金律：量子状態間の遷移確率

フェルミの黄金律は、量子力学において、あるエネルギー固有状態から別のエネルギー固有状態への遷移確率を計算するための重要な公式です。この法則は、原子や分子の光吸収、放射、散乱などの様々な量子現象を理解する上で不可欠な役割を果たしています。

基本的な考え方

ある量子系が初期状態（エネルギー固有状態）にあるとします。この系に外部からの摂動（例えば、電磁場）が加わると、系は初期状態から別のエネルギー固有状態へと遷移する可能性があります。フェルミの黄金律は、この単位時間あたりの遷移確率を計算する手法を提供します。

公式

フェルミの黄金律は、摂動法の最低次近似を用いて導出されます。時間依存しない摂動の場合、系は初期状態と同じエネルギーを持つ状態に遷移し、時間依存する摂動の場合（角振動数ωで振動する摂動）、初期状態からエネルギーがħωだけ異なる状態に遷移します。いずれの場合も、初期状態|i⟩から終状態|f⟩への単位時間あたりの遷移確率T_i→fは、以下の式で表されます。

T_i→f = (2π/ħ) |⟨f|H'|i⟩|²ρ

ここで、

ħは換算プランク定数です。
H'は摂動ハミルトニアンを表します。これは、外部からの摂動によって生じる系のエネルギー変化を表す演算子です。
⟨f|H'|i⟩は、初期状態|i⟩と終状態|f⟩の間の遷移モーメントです。これは、摂動によって初期状態から終状態への遷移がどの程度起こりやすいかを表す量です。
ρは終状態の状態密度です。これは、単位エネルギーあたりに存在する終状態の数であり、終状態のエネルギー準位の密度を表します。


遷移モーメント

遷移モーメント⟨f|H'|i⟩は、初期状態と終状態の波動関数の重なりを表します。この値が大きいほど、初期状態から終状態への遷移確率が高くなります。遷移モーメントは、摂動の種類や初期状態、終状態の性質によって異なります。

状態密度

状態密度は、終状態のエネルギー準位の密度を表します。状態密度が高いほど、終状態の選択肢が多くなり、遷移確率が高くなります。状態密度は、系の性質やエネルギーによって変化します。

導出

フェルミの黄金律は、時間依存摂動論を用いて導出されます。時間依存シュレーディンガー方程式を解くことで、摂動によって生じる系の状態変化を求めます。摂動が小さいと仮定することで、最低次近似を用いた解が得られ、上記の公式が導出されます。この導出過程において、遷移に必要な時間より測定時間がはるかに長いという仮定が用いられます。

歴史的背景

フェルミの黄金律という名前は、エンリコ・フェルミがこの有用な関係式を「第二の黄金律」と呼んだことに由来しています。しかし、この公式の導出の大部分はポール・ディラックによって行われたと言われています。

応用

フェルミの黄金律は、様々な物理現象の記述に用いられています。例えば、

原子や分子の光吸収・放出：原子や分子が光を吸収したり放出したりする確率を計算するのに用いられます。
散乱現象：粒子同士が衝突する際の散乱確率を計算するのに用いられます。
* 固体物理学：固体中の電子の状態や電子移動を理解するのに用いられます。

発展

フェルミの黄金律は、基本的な公式ですが、より複雑な系や状況を扱うために拡張された公式も存在します。例えば、多体系における遷移確率や、より高次の摂動効果を考慮した公式などがあります。

フェルミの黄金律は、量子力学の基本的な概念であり、様々な量子現象を理解する上で非常に重要な役割を果たしています。

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