状態密度

状態密度 (Density of States, DOS) の解説

固体物理学や物性物理学において、状態密度（DOS）は、物質の様々な性質を理解する上で極めて重要な概念です。簡単に言うと、DOSとは、ある特定のエネルギー範囲内に存在する、系が取りうる状態の数（量子力学的な状態）を表す物理量です。

DOS の基本概念

量子力学的な系では、電子やフォノン、光子などは、特定のエネルギー準位（状態）のみを占有できます。孤立した原子や分子とは異なり、固体中の電子などの状態密度は、エネルギーの関数として連続的に分布します。

あるエネルギー準位でDOSが高いということは、そのエネルギー準位に多くの状態が存在し、粒子が占有できる可能性が高いことを意味します。逆に、DOSがゼロであれば、そのエネルギー準位は系にとって禁制帯となっており、粒子はそのエネルギー準位を占有できません。一般的に、空間的、時間的に平均された状態密度を指し、局所的な変動は局所状態密度（LDOS）と呼ばれ区別されます。DOSを表す記号としては、g、ρ、D、n、Nなどが用いられます。

DOS の計算

DOSの計算は系の性質、特に系の幾何学的性質と密接に関連しています。

定義

系のエネルギー準位が離散的な場合は、状態密度は、デルタ関数を使って次のように定義されます。

D(E) = Σᵢ δ(E - Eᵢ)

ここで、Eᵢはi番目の状態のエネルギーです。系の状態が連続パラメータλで指定される場合は、

D(E) = ∫ δ(E - E(λ)) μ(λ) dλ

となります。μ(λ)は状態空間の体積要素です。古典系の場合は、位相空間積分を用いて計算できます。

対称性と状態密度

DOSの計算は、系の対称性によって大きく影響を受けます。等方的な系（例えば、流体やアモルファス固体）では、計算が単純化されます。しかし、単結晶のような非等方的な系では、結晶方位に依存した計算が必要となり、複雑になります。このような場合、射影状態密度（PDOS）などを計算することで、計算を簡略化したり、特定の方向のDOSのみを計算したりします。結晶構造の対称性（点群）が高いほど、計算は容易になります。例えば、面心立方格子（Oh点群）は48回対称性を持つため、ブリルアンゾーン全体の積分を1/48に削減できます。

波数空間の位相幾何学

DOSは系の次元にも依存します。三次元、二次元、一次元系では、波数空間における体積、面積、長さによって状態密度が変化します。波数空間における等エネルギー面で囲まれた領域の体積が、そのエネルギーにおける状態数を表します。

分散関係

粒子のエネルギーは、波数ベクトルkに依存します。この関係式を分散関係と呼びます。分散関係が単純な形（例えば、放物線型や線形）である場合は、DOSを解析的に計算できますが、複雑な場合は数値計算が必要になります。

例として、自由電子の分散関係は放物線型であり、一次元原子鎖のフォノン分散関係は正弦波型です。これらの分散関係を基に、それぞれのDOSが導出できます。

等方的分散関係

エネルギーが波数ベクトルの大きさのみに依存し、向きに依存しない分散関係を等方的分散関係といいます。この場合、DOSは解析的に計算できます。

放物線分散関係と線形分散関係

放物線型（p=2）と線形（p=1）の分散関係の場合のDOSは、次元ごとに異なる関数で表すことができます。

状態密度と分布関数

状態密度は、分布関数と組み合わせて、様々な物性を計算する際に用いられます。フェルミ・ディラック分布（フェルミオン、例えば電子）やボース・アインシュタイン分布（ボソン、例えばフォノン）を用いることで、系の内部エネルギー、粒子数、比熱、熱伝導率などを計算できます。

DOS の応用

DOSは、様々な物理現象の理解に役立ちます。

量子化

低次元系（量子井戸、量子ワイヤー、量子ドット）では、DOSがバルク物質とは大きく異なり、量子効果が顕著に現れます。

フォトニック結晶

フォトニック結晶は、光の波長スケールの周期構造を持つ物質で、光のDOSを制御できます。これにより、特定の波長の光を抑制したり、光導波路や光共振器を作製できます。

状態密度の計算方法

複雑な系では、DOSを解析的に求めることが困難なため、数値計算が用いられます。ワン・ランダウ法などのアルゴリズムが広く用いられています。

まとめ

状態密度は、固体物理学・物性物理学において物質の性質を理解する上で重要な概念です。系の次元、対称性、分散関係など、様々な要因に依存し、物質の様々な物性を決定する上で重要な役割を果たします。 DOSの概念は、半導体デバイス、ナノ材料、フォトニック結晶などの分野で広く応用されています。

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