フェルミ分布関数

フェルミ分布関数：フェルミ粒子のエネルギー準位分布

フェルミ分布関数は、互いに作用しないフェルミ粒子の系において、特定のエネルギー準位にある粒子の数（占有数）を示す関数です。フェルミ・ディラック分布とも呼ばれ、量子力学、特に統計力学において重要な役割を果たします。この関数は、物質のさまざまな性質、特に低温での物質の挙動を理解する上で不可欠です。

定義

フェルミ分布関数 f(ε) は、逆温度 β、化学ポテンシャル μ、エネルギー ε を用いて次のように定義されます。

math
f(\epsilon) = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} + 1}


ここで、β = 1/(k_BT) は逆温度（k_Bはボルツマン定数、Tは絶対温度）、μは化学ポテンシャル、εはエネルギーです。この関数は常に0から1の間の値を取り、エネルギー準位が粒子によって占められる確率を表しています。

低温での挙動

[絶対零度]の極限では、フェルミ分布関数はヘヴィサイドの階段関数に近づきます。つまり、ε < μ のとき f(ε) = 1、ε > μ のとき f(ε) = 0 となります。このときの化学ポテンシャルμをフェルミエネルギーと呼びます。フェルミエネルギーは、絶対零度において粒子が占める最高エネルギー準位を示しています。

占有数との関係

量子数 ν で指定されるエネルギー準位 ε_ν を占有するフェルミ粒子の個数 n_ν の期待値⟨n_ν⟩は、グランドカノニカル分布を用いて計算でき、以下のようになります。

math
⟨n_ν⟩ = f(ε_ν) = \frac{1}{e^{β(ε_ν - μ)} + 1}


これは、フェルミ分布関数の値が、そのエネルギー準位におけるフェルミ粒子の平均占有数を直接与えることを意味します。フェルミ分布関数が0から1の値しか取らないのは、パウリの排他原理により、一つのエネルギー準位に一つのフェルミ粒子しか存在できないという事実と整合しています。

準位が存在しない場合

実際には、準位が存在しないエネルギー領域についてフェルミ分布関数を考える場合もあります。例えば、半導体や絶縁体では、フェルミエネルギーがエネルギーギャップ中に位置することがあり、その場合、エネルギーギャップ全体にわたってフェルミ分布関数を拡張して考えることが一般的です。しかし、そのような場合、準位が存在しないエネルギー領域におけるフェルミ分布関数の値は、占有数としての物理的な意味を持ちません。

まとめ

フェルミ分布関数は、フェルミ粒子のエネルギー準位分布を記述する強力なツールです。その定義、低温での挙動、占有数との関係、そして準位が存在しない場合の扱い方を理解することで、様々な物理現象、特に固体物理における電子状態の理解を深めることができます。この関数は、半導体物理学、金属物理学、核物理学など、幅広い分野で応用されています。さらに、フェルミ分布関数は、ボース分布関数と対照的に、パウリの排他原理を反映しており、フェルミ粒子の統計力学を理解する上で重要な概念となっています。

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