フェルミエネルギー

フェルミエネルギー：物質の電子状態を解き明かす鍵

量子力学や物性物理学において、フェルミエネルギー（Fermi energy）またはフェルミ準位（Fermi level）は、物質の電子状態や電気的特性を理解する上で極めて重要な概念です。これは、相互作用のないフェルミ粒子系（理想フェルミ気体）の絶対零度における化学ポテンシャル（または電気化学ポテンシャル）を指し、通常 E_F と表記されます。

フェルミエネルギーの定義と解釈

絶対零度では、フェルミエネルギーはフェルミ粒子によって占められた最高のエネルギー準位のエネルギーと一致します。しかし、フェルミエネルギーにエネルギー準位が存在しない場合（例えば、半導体や絶縁体）、最も高いエネルギーを持つ粒子のエネルギーとは一致しません。

フェルミエネルギーは、フェルミ分布関数という統計的な分布を用いて記述されます。この関数は、あるエネルギー準位がフェルミ粒子によって占められる確率を表し、絶対零度では階段関数となり、フェルミエネルギーを境に占有確率が0から1に不連続的に変化します。有限温度では、フェルミエネルギー近傍で占有確率が滑らかに変化します。

フェルミエネルギーの計算：様々なモデル

フェルミエネルギーの計算方法は、系のモデルによって異なります。

井戸型ポテンシャル中の自由電子

1次元または3次元の無限に深い井戸型ポテンシャル中の自由電子系では、フェルミエネルギーは粒子の数密度と系の次元、粒子の質量、プランク定数などの物理定数によって決定されます。特に3次元の場合、フェルミエネルギーはフェルミ球と呼ばれるフェルミ面を持つ球状の空間で表現されます。

任意の次元の場合

任意の次元におけるフェルミエネルギーの計算は、状態密度を用いて行われます。状態密度は、あるエネルギー範囲に存在する量子状態の数密度を表し、フェルミエネルギーは状態密度と粒子の数密度を積分することで求められます。

固体中のフェルミエネルギー：金属、半導体、絶縁体

固体中のフェルミエネルギーの位置は、物質の電気的特性を大きく左右します。

金属

金属では、フェルミエネルギーは伝導帯の中に位置し、多くの電子がフェルミエネルギー近傍に存在するため、容易に電流を流すことができます。金属のフェルミエネルギーは数eV程度の大きさです。

半導体・絶縁体

半導体や絶縁体では、フェルミエネルギーは伝導帯と価電子帯の間のバンドギャップの中に位置します。バンドギャップの大きさによって、フェルミエネルギーの位置や電子の挙動が大きく変化し、電気伝導率が金属と比べて大幅に低くなります。真性半導体では、フェルミエネルギーはバンドギャップの中央付近に位置し、ドーピングによってフェルミエネルギーの位置を制御することが可能です。

フェルミ準位と電圧

フェルミ準位の差は電圧計で測定することができ、電子回路における電圧は、フェルミ準位（化学ポテンシャル）の差に比例します。熱力学的平衡にある電子回路では、全ての部品は同じフェルミ準位を持ちます。

まとめ

フェルミエネルギーは、物質の電子状態を理解する上で中心的な概念であり、その位置や大きさは物質の電気的特性を決定づけます。本記事では、様々なモデルや物質におけるフェルミエネルギーの計算方法や挙動、関連物理量について解説しました。これらの知識は、物質科学やデバイス設計において重要な役割を果たします。

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