フォッカー・プランク方程式

フォッカー・プランク方程式の概要

フォッカー・プランク方程式は、統計力学における確率分布の動態を記述する方程式であり、特にランダムなプロセスに関する重要な役割を果たしています。この方程式はクラマース・モヤル方程式の一部であり、特に変数nが3以上の場合に現れます。

方程式の基本形は以下のように表されます。

$$
\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x} \alpha_1(x,t) P(x,t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \alpha_2(x,t) P(x,t)
$$

ここで、P(x, t)は物理量xの確率分布、α₁(x, t)およびα₂(x, t)は時間tにおけるxに依存した成分です。この方程式の意味は、確率分布P(x, t)が時間に伴いどのように変化するかを表現しています。

確率微分方程式との関係

物理量xの動きは、確率微分方程式によって次の形で表現されます。

$$
\frac{dx}{dt} = a(x,t) + b(x,t) R(t)
$$

ここで、R(t)は白色雑音を持つガウス過程を示し、以下の条件を満たします。

$$
\langle R(t)R(t') \rangle = D\delta(t - t')
$$

この式によれば、R(t)は時間tの関数の変動成分として作用し、これが確率分布P(x, t)の変化に寄与します。

係数の定義方法

フォッカー・プランク方程式における係数の定義には大きく分けて2つの方法があります：伊藤清の方法とストラトノビッチの方法です。

伊藤清の方法

a(x, t)およびb(x, t)の関数を用いて、以下のように設定されます。

$$
\begin{aligned}
\alpha_1(x,t) &= a(x,t) \\
\alpha_2(x,t) &= D(b(x,t))^2
\end{aligned}
$$

ストラトノビッチの方法

こちらは微分の形状を考慮に入れ、次のように定義されます。

$$
\begin{aligned}
\alpha_1(x,t) &= a(x,t) + \frac{D}{2} \frac{\partial b}{\partial x}(x,t)b(x,t) \\
\alpha_2(x,t) &= D(b(x,t))^2
\end{aligned}
$$

線形フォッカー・プランク方程式

特に、線形ブラウン運動のような特定のケースでは、フォッカー・プランク方程式がさらに簡素化されて「線形フォッカー・プランク方程式」と呼ばれます。この場合の係数は以下のように与えられます。

$$
\begin{aligned}
\alpha_1(x,t) &= -\gamma x \\
\alpha_2(x,t) &= D
\end{aligned}
$$

ここで、γとDは定数であり、これにより次のランジュバン方程式が対応します。

$$
\frac{dx}{dt} = -\gamma x + R(t)
$$

このように、フォッカー・プランク方程式は確率論的な現象をモデル化するための強力な手法となっています。

参考文献

• - 『物理学辞典』培風館、1984年。

関連項目

• - 非平衡熱力学
• - 線形応答理論

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