ランジュバン方程式

ランジュバン方程式とは

ランジュバン方程式（Langevin equation）は、統計力学においてブラウン運動を記述するための重要な確率微分方程式です。この方程式は、物理学者ポール・ランジュバンによって、アインシュタインが提唱したブラウン運動の理論を基にして導かれました。ランジュバン方程式は、特にポテンシャルが一定である場合のブラウン粒子の動きについて最も基本的な形式で表現されます。

方程式の構成

この方程式において、質量 m を持つブラウン粒子は、以下の2つの力の影響を受けています。第一に、粒子の速度 v に比例した粘性力（ストークスの法則に基づく抵抗力）で、これは抵抗係数 β によって表されます。第二に、媒質中の分子との衝突によるランダムな力、η(t) による影響です。このような構成により、ブラウン粒子の加速度 a は、粘性力とランダム力との和として表現されることになります。

ブラウン運動の関連性

このランジュバン方程式は、熱雑音が存在する抵抗器を含む電気回路の状況など、様々なブラウン運動を扱う系においても同様に成り立ちます。これにより、ランジュバン方程式は広範囲な物理現象に応用されることが可能です。特に、物理学や化学の分野での応用が多く見られます。

揺動散逸定理

ランジュバン方程式を解析し解くことなく、多くの興味深い結果が揺動散逸定理から導かれることがあります。この定理は、系のエネルギーがどのようにして散逸するかを理解するための重要な手段です。系の運動の詳細な解が必要な場合は、フォッカー・プランク方程式を用いて解析するのが一般的な手法です。

フォッカー・プランク方程式

フォッカー・プランク方程式は、時間依存の確率密度を導出する決定論的な方程式です。この方程式を解くことによって、粒子の挙動の時間的な変化を追うことができます。さらに、数値的な解法としては、モンテカルロ法を用いたシミュレーションがしばしば用いられます。

経路積分法

また、統計力学と量子力学の間に見られる類似性を利用する手法として、経路積分法があります。フォッカー・プランク方程式はいくつかの変数のスケールを変換することで、シュレーディンガー方程式に変換できる点が注目されます。この方法によって、ランジュバン方程式における問題も新たな視点で扱うことが可能です。

まとめ

ランジュバン方程式は、ブラウン運動を記述するための強力なツールであり、物理学や統計力学においての理解を深めるうえで欠かせない存在です。これにより、様々な自然現象をより定量的に解析することが可能となります。

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