フォン・ノイマン正則環

フォン・ノイマン正則環とは

フォン・ノイマン正則環（von Neumann regular ring）は、数学の環論において重要な役割を果たす構造です。この環 R において、任意の元 a に対して、元 x が存在し、条件 a = axa を満たすとき、R はフォン・ノイマン正則環と呼ばれます。この特徴は、特に可換環論における正則環や正則局所環と明確に区別するため、時には絶対平坦環と呼ばれることもあります。そう呼ばれる理由は、この環が任意の左加群において平坦性を持つことに起因しています。

フォン・ノイマン正則元とイデアル

環の元 a がフォン・ノイマン正則であるとは、a に対して条件 a = axa を満たす x が存在することを指します。また、イデアル i がフォン・ノイマン正則であるというのは、i の任意の元 a に対し、同様の条件を満たす x が存在することを意味します。この場合、i はフォン・ノイマン正則イデアルと呼ばれます。

具体例

多くの環がフォン・ノイマン正則であることが知られています。例えば、すべての体（非ゼロの元に対して逆元が存在する環）や可除環はその典型です。任意の元 a に対して、その逆元 x = a^{-1} を取ることができます。さらに、整域がフォン・ノイマン正則であることは、体であることと同値です。

また、体 K の元を成分に持つ n 次全行列環 Mn(K) もフォン・ノイマン正則環の一例です。この行列 A ∈ Mn(K) に対して、ランク r と呼ばれる特性が存在します。行列 A を、可逆行列 U と V を用いて特定の形に変形できることが示され、ここから元 x を定義することができます。これにより、A XA = A という条件を満たします。一般に、フォン・ノイマン正則環上の行列環もまたフォン・ノイマン正則であることが知られています。

さらに、すべてのブール環もフォン・ノイマン正則であり、各元が a^2 = a を満たすような環として特徴付けられます。

同値条件

フォン・ノイマン正則環に関連するさまざまな同値条件があります。その一例として、環 R がフォン・ノイマン正則であることと、すべての単項左イデアルが特定の性質を持つことが同値であることが知られています。具体的には、すべての有限生成左イデアルも、この特定の性質を満たすことが示されています。さらに、すべての左 R-加群が平坦であり、すべての短完全列が純完全であることが同値条件とされます。

特に、可換フォン・ノイマン正則環においては、各元に対して唯一の元が存在することが示され、これを用いることで「弱逆元」を選択する方法が構成されます。これにより、フォン・ノイマン正則の概念は、05619;う数学的な安定性や構造の解析に役立ちます。

一般化と特殊化

フォン・ノイマン正則環には、単元正則環や強フォン・ノイマン正則環といった特別なタイプも存在します。単元正則環は、すべての元に対し単元が存在して条件 a = aua を満たす環を指します。一方、強フォン・ノイマン正則環では、すべての元 a に対して a = aax を満たす元が存在します。このように、フォン・ノイマン正則環の性質は、さまざまな数学的対象を通じて広がりを持ち、深い解析を可能にします。

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