正則局所環

正則局所環について

正則局所環は可換環論において重要な役割を果たす概念であり、代数幾何学において特に非特異点と関連しています。この環は、特定の条件を満たすネーター局所環として定義されます。

定義と条件

正則局所環は、ネーター局所環
\( (A, m) \) であり、剰余体
\( k = A/m \) に対して次の条件を満たすものです：

\[
\dim A = \dim_k \left( \frac{m}{m^2} \right)
\]

ここで、左辺は A のクルル次元、右辺は k ベクトル空間としての次元を示します。右辺の値は「埋め込み次元」とも呼ばれ、しばしば
\( \operatorname{emb\,dim} A \) という記号で表されます。正則局所環は、代数多様体の非特異点に対応し、極めて重要です。

包含関係

正則局所環は、より広いクラスのネーター局所環に含まれ、以下のような包含関係があります：

\[
\text{強鎖状環} \supset \text{コーエン・マコーレー環} \supset \text{ゴレンシュタイン環} \supset \text{完全交叉環} \supset \text{正則局所環}
\]

具体例

以下に、正則局所環の具体例を示します。すべての体は次元が0の正則局所環であり、逆に0次元の正則局所環は体です。さらに、すべての離散付値環は1次元の正則局所環で、1次元の正則局所環は離散付値環に該当します。特に、体 k を用いて不定元 X に対する形式的冪級数環
\( kX \) は1次元の正則局所環です。

より一般的に、体 k と不定元 \( X_1, \ldots, X_d \) に対して形式的冪級数環
\( kX_1, \ldots, X_d \) は d 次元の正則局所環となります。また、p進整数環も正則局所環であることが知られています。整数環 Z と不定元 X に対する局所化
\( Z[X] \) は2次元の正則局所環で、体を含んでいません。

特徴付け

次に、次元 d を持つネーター局所環 \( (A, m) \) が正則局所環であるための条件を示します。以下は同値です：
1. A は正則局所環である。
2. \( m \) は d 個の元で生成される。
3. \( \mathrm{gr}_{m} A \simeq k[X_1, X_2, \ldots, X_d] \) が成り立つ。

ここで、右辺は d 不定元からなる多項式代数です。この同型は剰余体 \( k = A/m \) 上の次数環として考えます。また、A が局所環であるならば、形式的冪級数環 \( AX \) は正則局所環となります。

性質

ネーター局所環が正則であることと、その完備化が正則であることは同値です。また、正則局所環は一意分解整域であり、非常に興味深い性質を持っています。最後に、大域次元が有限で、さらに大域次元とクルル次元が一致する必要があります。

参考資料

この内容をより深く理解するために、以下の文献を参照することをお勧めします：

• - 堀田, 良之『可換環と体』岩波書店、2006年。ISBN 4-00-005198-9。
• - Eisenbud, David. "Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry." Graduate Texts in Mathematics, 1995.
• - Matsumura, Hideyuki. "Commutative ring theory." Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1986。

正則局所環の理解は、代数幾何学や可換環論の学びにおいての基礎をなすものであり、その性質や構造を知ることは非常に重要です。

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