双曲幾何学

双曲幾何学：ユークリッド[[幾何学]]を超えて

双曲幾何学は、私たちが普段認識している平坦な空間（ユークリッド空間）とは異なる、曲がった空間における幾何学です。ユークリッド[[幾何学]]では自明なものとされる概念、特に平行線公準が成り立たない点が大きな特徴です。

平行線公準の否定

ユークリッド[[幾何学]]の基礎をなす『ユークリッド原論』には5つの公準が提示されています。その5番目の公準、平行線公準は「一つの直線と直線外の点に対して、その点を通って元の直線に平行な直線はただ一つだけ存在する」というものです。

双曲幾何学は、この平行線公準を否定することで成立します。具体的には、「ある直線とその直線外の1点を与えたとき、その点を通り元の直線に平行な直線は無限に存在する」という公理を導入します。この公理と、ユークリッド[[幾何学]]の他の公準を組み合わせることで、双曲幾何学の体系が構築されます。

双曲幾何学の誕生

双曲幾何学は、平行線公準を他の公準から証明しようと試みる過程で生まれた皮肉な歴史を持っています。サッケリーなど、多くの数学者が平行線公準の証明を試みましたが、成功しませんでした。最終的に、ロバチェフスキー（1829年発表）、ボヤイ（1832年発表）、そしてガウス（発表せず）が、平行線公準を否定した新しい幾何学体系を独立に確立しました。彼らの功績により、平行線公準が他の公準から独立した公理であることが証明されたのです。

双曲幾何学のモデル

双曲幾何学の空間を視覚的に捉えるために、いくつかのモデルが考案されています。有名なものとしては、ポワンカレの上半平面モデルとポワンカレの円板モデルが挙げられます。その他にも、ベルトラミーの擬球面モデル、双曲面モデル、クラインモデルなどがあります。これらは、双曲幾何学の性質を満たす曲面であり、双曲平面（二次元双曲多様体）と呼ばれます。これらのモデルは、双曲幾何学の理論が確立された後に発見されたものです。

物理学への応用

双曲幾何学は数学的な概念にとどまらず、物理学にも応用されています。高速回転する円盤を例に挙げると、円盤の中心から離れるほど回転速度が速くなり、ローレンツ収縮の効果により物体の長さが縮みます。この現象により、円盤上の二点間の最短距離は、回転の中心から伸びる曲線となり、3次元空間が負の曲率を持つように見えます。これは、双曲幾何学が現実世界の現象を記述する上で有用であることを示しています。

まとめ

双曲幾何学は、ユークリッド[[幾何学]]とは異なる空間における幾何学であり、平行線公準の否定がその特徴です。数多くのモデルによって視覚的に理解され、物理学への応用も進んでいます。これは、数学における重要な概念であり、我々の宇宙に対する理解を深める上で重要な役割を果たしています。

もう一度検索