ブラック–ショールズ方程式

ブラック–ショールズ方程式

ブラック–ショールズ方程式（英: Black–Scholes equation）とは、金融商品の価格を決定するための偏微分方程式です。特に、デリバティブやオプションの価格設定に広く用いられ、幾何ブラウン運動に基づく株価モデルに関連付けられています。この方程式は、オプションの評価における重要な理論として知られています。

誕生の背景

この方程式は、1973年にフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズによって発表されました。二人は、オプションの価格設定に関する問題を研究しており、その結果としてブラック–ショールズ方程式が生まれました。後にロバート・マートンがその理論に対して厳密な証明を行い、この理論は现代金融工学の礎となっています。

オプションの価格評価においては、過去にも様々な試みがなされてきました。特に、ルイ・バシュリエの1900年の博士論文ではオプションの評価式が考えられましたが、実用性に欠けるものでした。その後、1961年にCase Sprenkle、1965年にはポール・サミュエルソンが株価変動に基づく評価式を導出しましたが、リスクの市場価格を明示的に表現できていませんでした。

ブラックがワラントの評価式を研究している中で、確率的な株価モデルをもとにした新しいアプローチに着手しました。特に、確率微分方程式の理論と、マートンとの議論によって導かれた複製ポートフォリオの概念が重要な役割を果たしました。

方程式の内容

ブラック–ショールズ方程式は、株価を反映したオプションの理論価格を求めるための基本的な式です。有名な例としてヨーロピアンコールオプションの価格計算が挙げられます。方程式は次のように表されます。

\[ rC = \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S_t^2} + r S_t \frac{\partial C}{\partial S_t} \]

ここで、Cはオプションの価格、rはリスクフリーレート、σはボラティリティ、St は株価を示しています。この方程式は、オプションの価値が時間とともにどのように変化するかを示す重要な理論となっています。さらに、境界条件として次の3つが設けられています。

• - C(0, t) = 0
• - C(St, t) ∼ St as St → ∞
• - C(ST, T) = max{ST − K, 0}

これに基づいた計算により、オプションの理論価格が算出されます。

制約と応用

ブラック–ショールズ方程式は、日本のように配当を考慮することができ、様々な市場の条件にも適応可能です。具体的には、配当利回りqを考慮したオプションの価格を求める場合も、偏微分方程式は類似の形を維持しつつ、qが導入されることで調整が行われます。

また、オプション価格の理論的算出方法は、金融業界におけるさまざまな戦略やシステムに活用され、価格形成の理論的基礎を提供しています。これにより、投資家が適正なプレミアムを求める際や市場取引においての判断材料となっています。

発展と批判

ブラック–ショールズ方程式は理論的なアプローチに基づいていますが、実際の市場においては一定の仮定が成り立たないこともあります。そのため、ボラティリティの変化を考慮した確率的ボラティリティモデルや、より柔軟な価格変動モデルなどが提案されてきました。

このように、ブラック–ショールズ方程式は金融市場におけるオプション評価の枠組みとして広く受け入れられており、今なおさまざまな研究や実務に影響を与え続けています。

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