確率的ボラティリティモデル

確率的ボラティリティモデルの概要

確率的ボラティリティモデル（SVモデル）は、時系列分析における重要な手法であり、ボラティリティが時間とともに変動することを捉えることを目的としています。これにより、金融市場での資産価値の変動をより正確に分析することが可能になります。

このモデルの起源は1982年にまで遡ります。当時、ロバート・エンゲルはARCHモデルを提案しました。ARCHモデルは、ボラティリティが時間的に依存して変化することを示すための初めての試みとされています。さらに、1986年には、エンゲルの弟子であるボラースレブがこのモデルを拡張し、GARCH（一般化されたARCH）モデルを発表しました。このモデルによって、ボラティリティの様々な動きがより詳細に捕らえられるようになりました。

1993年には、スティーブン・ヘストンが確率的ボラティリティモデルとして有名なHestonモデルを提案しました。Hestonモデルは、原資産のボラティリティが変動する様子を数学的に表現しており、デリバティブ（オプションなど）の評価に広く利用されています。これらのモデルは、特に金融商品評価において収益の変動リスクを考慮するために欠かせないものとなっています。

ブラック・ショールズとの違い

一般的に用いられるブラック・ショールズ方程式では、ボラティリティは定数として扱われ、時間や原資産価格に応じた変化を無視します。しかし、確率的ボラティリティモデルではボラティリティが時間に依存して変動するため、オプションの権利行使価格や期限により異なるインプライド・ボラティリティの実態をより正確にモデル化することができます。「ボラティリティ・スマイル」や「ボラティリティ・スキュー」という現象も、確率的ボラティリティモデルを通じて合理的に説明できるのです。

基本モデルの構造

確率的ボラティリティモデルの基本的な構造は、原資産価格の変動を以下のように表現します：

$$
dS_t =
u S_t dt +
u_t S_t dW_t
$$

ここで、$S_t$は原資産価格、$dW_t$は正規分布に従うウィーナー過程、$
u$は期待収益率であり、$
u_t$は時変のボラティリティを示す関数です。このモデルにおいて、$
u$が定数であったものから、$
u_t$という時間に依存する関数に置き換えられています。

さらに、ボラティリティの変動は、次のように記述されます：

$$
d
u_t = eta_
u
u_t dt +
u_t dB_t
$$

ここで、$dB_t$は別のガウス分布に従い、異なる確率的特性を持つ過程です。この構造により、ボラティリティそのものがより複雑な動きをすることが可能となります。これにより、現実の金融市場におけるボラティリティの変動を精緻に捉えることができるようになります。

確率的ボラティリティモデルの種類

様々な確率的ボラティリティモデルが提案されています。代表的なものとしては以下のようなモデルが挙げられます：

• - Hestonモデル
• - SABRモデル
• - GARCHモデル

これらのモデルはそれぞれ異なる特性を持ちながらも、投資リスクや市場のダイナミクスを理解する上で非常に役立ちます。

参考文献

• - Hyungsok Ahn, Paul Wilmott, 「Stochastic Volatility and Mean-variance Analysis」, 2006.
• - SL Heston, 「A closed-form solution for options with stochastic volatility」, 1993.
• - Alireza Javaheri, 「Inside Volatility Arbitrage」, 2005.
• - Kilin, Fiodar, 「Accelerating the Calibration of Stochastic Volatility Models」, 2006.

これらの資格を通じて学ぶことで、確率的ボラティリティモデルについての理解を深め、効果的に利用することができるようになるでしょう。

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