ブラーマグプタの公式

ブラーマグプタの公式

ブラーマグプタの公式は、円に内接する四角形の面積を、その四辺の長さだけを用いて求めることができる著名な幾何学の定理です。7世紀にインドの数学者ブラフマグプタによって発見されました。

概要

この公式は、3辺の長さから三角形の面積を求めるヘロンの公式を、四角形へと拡張したものと見なされます。しかし、三角形は3辺の長さが決まれば形も面積も一意に定まるのに対し、四角形は4辺の長さが分かっただけではその形状が一つに決まらず、面積も様々な値を取り得ます。したがって、ブラーマグプタの公式が適用できるのは、その四角形が円に内接しているという特別な条件下においてのみです。この条件が加わることで、四角形の形状と面積が一意に確定するのです。

歴史的には、ブラーマグプタ自身がこの「円に内接する」という条件を明確に示さなかったため、彼の公式は一時的に不完全であると認識されていた時期もありました。

公式

円に内接する四角形の四辺の長さをそれぞれ $a, b, c, d$ とします。また、この四角形の半周長 $s$ を次のように定義します。

$$s = \frac{a+b+c+d}{2}$$

このとき、円に内接する四角形の面積 $S$ は、ブラーマグプタの公式によって次のように与えられます。

$$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$

この公式は、例えば辺 $a=0$ とすることで、三角形（一辺が潰れた四角形と見なせる）の外接円に対するヘロンの公式（三角形の面積 $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$、ここで $s$ は三角形の半周長）を導くことができます。

さらに、円に内接すると同時に円に外接するような特別な四角形、いわゆる双心四角形の場合には、公式はさらに単純になり、面積 $S$ は $S = \sqrt{abcd}$ と表されます。これはブラーマグプタの公式と外接円を持つ四角形の性質を組み合わせることで得られます。

円に内接しない一般的な四角形の場合の面積は、対角線の長さや角度が関係してきます。もし四角形の対角の和の一つ（例えば2つの対角の合計角度の半分）を $t$ とすると、その面積はブレートシュナイダーの公式によって求められます。

$$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\cos^2 t}$$

ブラーマグプタの公式は、このブレートシュナイダーの公式において、円に内接する四角形の対角の和が180°（すなわち $t=90°$）であることから $\cos t = 0$ となり、右辺の第二項がゼロになる場合の特別な形と考えることができます。

証明の概要

ブラーマグプタの公式は、幾何学的な手法と三角法を用いて証明できます。円に内接する四角形を対角線で二つの三角形に分割し、それぞれの三角形の面積を辺の長さと対角の一つの角度（例えば $t$）を用いて表します。内接四角形の性質により、対角の和が180°であることを利用すると、もう一つの対角の角度は $180°-t$ となります。

二つの三角形の面積の合計が四角形の面積となります。また、同じ対角線について、余弦定理を用いて辺の長さと角度 $t$ で二通りの式を立て、それらを組み合わせることで $\cos t$ の値を辺の長さで表すことができます。最後に、三角関数の恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ を利用して $\sin t$ を辺の長さで表し、四角形の面積の式に代入することで、ブラーマグプタの公式が得られます。

より一般的なブレートシュナイダーの公式も、同様に余弦定理を用いる方法で証明することが可能です。

ブラーマグプタの公式は、円に内接する図形の持つ特別な性質を示す美しい例であり、幾何学における面積計算の分野で重要な位置を占めています。

関連項目

双心四角形
ブラフマグプタ
ブレートシュナイダーの公式
ヘロンの公式

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