半周長

半周長（はんしゅうちょう）とは

平面幾何学における半周長（英: semiperimeter）とは、多角形の全周の長さのちょうど半分の値を指します。周長そのものから簡単に計算できる量ですが、特に三角形をはじめとする様々な図形の性質や面積、半径などを記述する数多くの公式に頻繁に登場するため、数学の分野では独立した用語として扱われています。一般的に、半周長は小文字のアルファベット `s` を用いて表されます。

三角形における半周長

半周長という概念が最もよく利用されるのは三角形です。3つの辺の長さをそれぞれ $a$, $b$, $c$ とするとき、三角形の半周長 $s$ は、これらの辺の長さの合計を2で割ることで求められます。

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$

三角形の半周長に関する性質

三角形の半周長は、その幾何学的構造において様々な興味深い性質と関連しています。

例えば、任意の三角形において、頂点とそれに向かい合う傍接円の接点を結ぶ直線は、その三角形の周を二等分します。これは、ある頂点からこの接点に至る経路が、周上のどちらを回っても半周長に等しい長さを持つことを意味します。このような3本の直線を引くと、それらはナーゲル点と呼ばれる一点で交わります。

また、三角形の各辺の中点を通り、かつ周長を二等分する線を中分線（クリーバー）と呼びます。中分線によって分割された周の2つの部分は、それぞれ半周長に等しい長さとなります。3本の中分線はシュピーカー点で交わります。シュピーカー点は、辺のみに重さがあると考えた場合の、いわば「中空の」三角形の物理的な重心に相当する点です。興味深いことに、周長を二等分する直線は、その線が三角形の内心を通る場合に限られるという性質も知られています。

さらに、元の三角形の辺の中点を結んでできる中点三角形の周長は、元の三角形の半周長に等しくなります。

三角形の三辺の長さに関する基本的な性質である三角不等式から、$s$ は常に最も長い辺の長さよりも大きくなることが導かれます。

半周長を用いる三角形の主な公式

半周長 $s$ を用いると、三角形に関する様々な量が簡潔な形で表現できます。

面積：三角形の面積 $S$ は、その内接円の半径 $r$ と半周長 $s$ の積に等しいという非常に基本的な関係式があります。

$$S = rs$$

ヘロンの公式：3辺の長さ $a, b, c$ から三角形の面積 $S$ を求める有名なヘロンの公式は、半周長 $s$ を用いることで簡潔に記述されます。

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

内接円の半径：内接円の半径 $r$ も、半周長 $s$ と各辺の長さを用いて以下のように表すことができます。

$$r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$$

外接円の半径：外接円の半径 $R$ は、3辺の積を面積の4倍で割ったものですが、ヘロンの公式と組み合わせることで、$s$ を用いて以下のように記述できます。

$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$

角の二等分線の長さ：各角の二等分線の長さも、半周長を含む形で表現される公式があります。

半周長は、直角三角形における傍接円の半径との関係や、単位球上の球面三角形の面積（球過量）を求めるリュイリエの公式など、より応用的な場面でも現れます。

四角形における半周長

四角形においても同様に半周長が定義されます。4つの辺の長さを $a, b, c, d$ とするとき、半周長 $s$ は以下のようになります。

$$s = \frac{a+b+c+d}{2}$$

四角形においても、半周長は面積計算などに用いられます。

円に外接する四角形（接線四角形）：このような四角形では、三角形と同様に面積 $S = rs$ （$r$ は内接円の半径）が成り立ちます。これはピトーの定理（対辺の長さの和が等しい）とも関連しています。

円に内接する四角形（共円四角形）：円に内接する四角形の面積 $S$ を求めるブラーマグプタの公式は、三角形のヘロンの公式を拡張した形で、半周長 $s$ を用いてシンプルに表されます。

$$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$

一般の凸四角形：ブラーマグプタの公式は、一般の凸四角形に対してブレートシュナイダーの公式に拡張されます。この公式では、半周長に加えて対角の角度も面積の計算に必要となります。

$$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}$$

ここで $\alpha$ と $\gamma$ は向かい合う角の大きさです。

その他の多角形

多角形が内接円を持つ場合（接線多角形）、その面積は内接円の半径と半周長の積に等しいという性質は、三角形や円に外接する四角形の場合と同様に成り立ちます。

このように、半周長は多角形の基本的な幾何学的特性を表す量として、様々な図形の性質や公式を理解・表現する上で役立っています。

もう一度検索