双心四角形

双心四角形：外接円と内接円を持つ四角形

双心四角形とは、一つの円に内接し、かつ別の円に外接する四角形のことです。言い換えれば、四辺全てが円に接し、かつ四つの頂点が全て別の円周上にあるような四角形です。この二つの円はそれぞれ内接円と外接円と呼ばれます。双心四角形は、双心多角形という、内接円と外接円の両方を持つ多角形の一種です。

ポンスレの閉形定理によると、一度双心四角形が与えられれば、それを含む無数の双心四角形が存在することが示されています。この定理は、与えられた二つの円に対する双心四角形の存在に関する重要な定理です。

双心四角形の例

双心四角形には、いくつかの特別な場合が知られています。最も単純な例としては正方形が挙げられます。正方形は、中心を同じくする内接円と外接円を持つため、双心四角形です。他にも、直角凧形や、円に外接する等脚台形も双心四角形となります。これらの図形は、双心四角形が持つ性質を理解する上で重要な役割を果たします。

双心四角形の作図

双心四角形は、幾何学的な作図によって構成することができます。例えば、内接円となる円を描き、その円の中に互いに垂直な二本の弦を作ります。そして、これらの弦の端点から内接円に接線を引くと、それらの接線によって囲まれた四角形は双心四角形となります。これは、円に外接する四角形の接触四角形が直交対角線四角形となる性質を利用した作図法です。

面積の公式

双心四角形の面積を計算するための公式がいくつか存在します。四辺の長さをa, b, c, dとした場合、最も簡潔な公式は次の通りです。

S = √(abcd)

この公式は、双心四角形の面積が四辺の長さの幾何平均によって表されることを示しています。より一般的には、内接円を持つ四角形の面積は次のように表されます。

S = √(abcd)sin t

ここで、tは四角形の対角線のなす角の平均値です。双心四角形の場合、t = 90°となるため、最初の公式が得られます。この公式の証明には、ブラーマグプタの公式と、内接円を持つ四角形の対辺の和が等しいという性質を利用します。また、ブレートシュナイダーの公式を用いることで、外接円を持たない一般の場合の面積公式も導出できます。

他にも、接線長や内心、外心、対角線の交点の座標などを用いた面積公式が知られています。これらの公式は、双心四角形の幾何学的性質を様々な角度から捉える上で役立ちます。

双心四角形に関する不等式

双心四角形の面積、辺の長さ、内接円と外接円の半径などに関して、いくつかの不等式が成立します。例えば、面積K、内接円の半径r、外接円の半径Rを用いて、次の不等式が知られています。

4r² ≤ K ≤ 2R²

等号が成立するのは正方形の場合のみです。他にも、辺の長さや接線長に関する様々な不等式が知られており、これらは双心四角形の形状に関する制約を示しています。

角の公式

双心四角形の各角の三角関数についても、いくつかの公式が知られています。これらの公式は、辺の長さや接線長を用いて各角の大きさを計算する際に利用されます。

外接円と内接円の関係

双心四角形の外接円と内接円の間には、ファスの定理と呼ばれる関係式が成り立ちます。この定理は、外接円の半径R、内接円の半径r、外接円の中心と内接円の中心の距離dを用いて、次の式で表されます。

1/(R-d)² + 1/(R+d)² = 1/r²

この式は、双心四角形における外接円と内接円の位置関係を定量的に表しています。また、Carlitzの恒等式なども知られており、これらを用いることで、双心四角形の様々な性質を詳細に調べることができます。

その他の性質

双心四角形は、その幾何学的性質ゆえに、様々な興味深い性質を持っています。例えば、内心、外心、対角線の交点は共線上に存在するなど、美しい関係が成り立っています。また、双心四角形を分割してできる４つの三角形の内心も共円上に位置するなど、様々な幾何学的な定理と密接な関係があります。

双心四角形