ブルバキ・ヴィットの定理

ブルバキ・ヴィットの定理

ブルバキ・ヴィットの定理（Bourbaki–Witt theorem）は数学における重要な定理であり、特に半順序集合に関連しています。この定理は、ニコラ・ブルバキとエルンスト・ヴィットの名前に由来し、半順序集合の特性に基づいて不動点の存在を示しています。

定理の概要

この定理は、空でない半順序集合
\( (X, ext{⪯}) \) が任意の全順序部分集合に上限を持つ場合、任意の写像 \( f: X → X \) に対して、\( x \\in X \\implies f(x) ext{⪰} x \) という条件が成り立つならば、\( f \) は少なくとも一つの不動点を持つことを述べています。

有限半順序集合の例

半順序集合 \( X \) が有限である場合、定理の主張は容易に理解できます。例えば、任意の元 \( x_0 \\in X \) を選び、漸化式 \( x_{n+1} = f(x_n) \) (\( n = 0, 1, 2, ... \)) を考えます。この点列 \{\( x_n \}\) は単調増加し、有限な集合 \( X \) のため、十分大きな \( n \) に対して \( x_n \\rightarrow x_{\\ ext{∞}} \) のように定常状態になります。この結果、\( x_{\\ ext{∞}} \) は不動点となります。

議論の根拠

証明においては、任意の元 \( y \\in X \) を選び、順序数全体のクラス \( O_n \) 上の関数 \( K: O_n \to X \) を再帰的に定義します。\( K(0) = y \) とし、極限順序数の場合、全順序部分集合として上限を取ることを示します。このように、\( K \) が単調増加である場合、狭義単調増加の仮定を用いることで、ハルトークスの補題に矛盾することが明らかになります。

具体的な応用例

ブルバキ・ヴィットの定理は多くの分野で重要な役割を果たしており、特によく知られているのは選択公理によるツォルンの補題の証明です。この場合、空でない半順序集合に対し、全順序部分集合に上限が存在することから、極大元を持たないと仮定します。選択公理により選ばれる関数 \( g \) を用いて、\( f(x) = g(...\) の形で定義され、最終的に不動点が存在しないことが示されます。

他の適用事例

さらに、ブルバキ・ヴィットの定理は計算機科学においても非常に重要です。計算可能関数の理論や領域理論において、再帰的データ型の定義にも用いられています。これにより、理論の深い部分においても不動点の概念が生かされています。

このように、ブルバキ・ヴィットの定理は数学の多くの分野で応用されており、数学者が不動点について考える際に非常に重要なツールとなっています。

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