ツォルンの補題

ツォルンの補題とは

ツォルンの補題（Zorn's lemma）は、集合論における重要な定理の一つです。これは、ある種の半順序集合に対して、必ず極大元が存在することを保証するもので、数学の様々な分野で広く応用されています。この補題は、選択公理と同値であることが知られており、その強力さから多くの数学的な成果を導く上で欠かせないツールとなっています。

定義

まず、ツォルンの補題で使われる用語を定義します。

半順序集合: 集合Pとその上の順序関係≤の組(P,≤)を指します。この順序関係は、反射律(a≤a)、推移律(a≤bかつb≤cならばa≤c)、反対称律(a≤bかつb≤aならばa=b)を満たします。
全順序部分集合（鎖）: 半順序集合Pの部分集合Tで、Tの任意の2つの要素sとtについて、s≤tまたはt≤sが成り立つものを指します。
上界: 全順序部分集合Tに対して、Pの要素uが存在し、Tのすべての要素tについてt≤uが成り立つとき、uをTの上界と言います。このuはTの要素である必要はありません。
極大元: 半順序集合Pの要素mで、m

ツォルンの補題の主張

ツォルンの補題は、次の2つの形式で述べられます。

形式1:

半順序集合Pのすべての鎖がPに上界を持つならば、Pは少なくとも一つの極大元を持つ。

形式2:

空でない半順序集合Pの任意の空でない鎖がPに上界を持つならば、Pは少なくとも一つの極大元を持つ。

形式2は、形式1における空集合という自明な鎖を明示的に除外したものです。これは、ツォルンの補題を応用する際、特に集合族の包含関係を扱う場合に、空集合の取り扱いに関する曖昧さを排除する目的があります。

ツォルンの補題の応用

ツォルンの補題は、数学の様々な分野で重要な役割を果たしています。

関数解析: ハーン・バナッハの定理の証明に用いられます。これは関数解析における最も基本的な結果の一つです。
線型代数: 全ての線形空間は基底を持つことの証明に用いられます。この事実は、線型代数の基礎をなすものです。
位相空間論: チコノフの定理（任意のコンパクト集合の直積はコンパクトである）の証明に用いられます。
代数学: 全てのゼロでない環は極大イデアルを持つこと、及び任意の体における代数的閉包の存在を証明する際に用いられます。

ツォルンの補題を用いた証明の例

単位元を持つ自明でない全ての環Rが極大イデアルを持つことを、ツォルンの補題を用いて示します。

1. 半順序集合の設定: Rの（両側）イデアルのうち、R自身ではないもの全体をPとします。これは、自明なイデアル{0}を含むため、空ではありません。この集合は、包含関係によって半順序集合となります。
2. 極大元の確認: Pの極大元を見つけることは、Rの極大イデアルを見つけることと同値です。
3. 鎖の上界の存在証明: Pの任意の空でない全順序部分集合Tを取り、Tの上界が存在することを示します。Tのすべてのイデアルの和集合をIとします。このIは、Tの任意の要素を包含し、かつRよりも真に小さいイデアルです。
4. Iがイデアルであることの証明: IがRのイデアルであることを示すためには、Iの任意の2つの要素の和がIに含まれ、Rの任意の要素を掛けてもIに含まれることを確認する必要があります。
5. IがRと一致しないことの証明: IがRと一致すると仮定すると、それは単位元1を含み、Tの要素がRと一致するという矛盾が生じるため、IはRよりも真に小さいイデアルです。
6. 結論: ツォルンの補題の条件が満たされたため、Pには極大元、すなわちRには極大イデアルが存在します。

証明の概略（選択公理を仮定）

ツォルンの補題は、選択公理を仮定することで証明できます。

1. 背理法による仮定: 補題が成り立たないと仮定し、すべての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もより大きな元を持つような半順序集合Pを取ります。
2. 選択公理の適用: 各鎖Tに対して、それよりも真に大きな元b(T)を選ぶ関数を、選択公理を用いて定義します。
3. 超限帰納法による列の構成: Pの元の列を、a0 < a1 < a2 < ... のように、超限帰納法を用いて定義します。この列は順序数全体にわたるため、Pよりも長くなり、矛盾が生じます。

歴史

ツォルンの補題の歴史は以下の通りです。

ハウスドルフの極大原理: ツォルンの補題に似た初期の定理が、ハウスドルフによって提唱されました。
クラトフスキ: 1922年に、現在の定式化に近い形でツォルンの補題を証明しました。
ツォルン: 1935年に、現在の定式化と本質的に同等のものを独立に発見し、代数への応用を示しました。
テューキー: 1940年に「ツォルンの補題」という名前を使用しました。
ブルバキ: 1939年に、同様の極大原理を「le théorème de Zorn」として引用しました。

ツォルンの補題と同値な命題

ツォルンの補題は、以下の命題とZF集合論において同値です。

ハウスドルフの極大原理
選択公理
整列可能定理
* テューキーの補題

大衆文化における言及

アメリカのテレビアニメ「ザ・シンプソンズ」で、ツォルンの補題が言及されたことがあります。これは、数学的なテーマがアニメに組み込まれた一例です。

まとめ

ツォルンの補題は、数学における強力なツールであり、様々な分野で重要な役割を果たしています。この補題とその同値な命題を理解することは、数学を深く理解するための基礎となるでしょう。

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