ブルン定数

ブルン定数について

ブルン定数（Brun's constant）は通常、B₂で示される数学的な定数です。この数は双子素数の逆数の和の極限として定義され、その表現は以下のようになります。

$$
B_{2} = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots
$$

オイラーは素数の逆数の和が無限大に発散することを明らかにしましたが、双子素数に関しては1921年にヴィーゴ・ブルンがこの級数が収束することを示しました。しかし、双子素数が無限に存在するかどうかは依然として解決されていません。また、この極限が無理数であるか有理数であるかという問題も未解決であり、もしも無理数であることが証明されれば、双子素数は無限に存在することが示唆されます。

1996年、Thomas R. Nicelyは、1,014以下の双子素数までの部分和を計算し、その結果は1.902160578でした。この計算の過程で、彼はPentiumプロセッサのバグとして知られるFDIVバグを発見しました。2002年にはPascal SebahとXavier Gourdonが1,016までの部分和を計算し、その値を1.902160583104…としました。このことから、ブルン定数は次のように推定されます：

$$
B_{2} = 1.902160583…
$$

さらに、これに類似した数が四つ子素数についても定義されています。この数は四つ子素数に関連するブルン数と呼ばれ、多くの場合B₄で表記されます。四つ子素数とは、4だけ離れた2つの双子素数の組を指し、たとえば(5, 7, 11, 13)、(11, 13, 17, 19)、(101, 103, 107, 109)などがあります。したがって、B₄は以下のように表現されます。

$$
B_{4} = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots
$$

この数の推定値は次の通りです：

$$
B_{4} \approx 0.87058 83800 \pm 0.00000 00005
$$

このように、ブルン定数およびそれに関連する数は、数論における重要な研究対象であり、未解決の問題が多く存在します。今後の研究によって、これらの問題に対する新たな洞察が得られることが期待されています。

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