ブレートシュナイダーの公式

ブレートシュナイダーの公式（Bretschneider's formula）は、平面上の任意の四角形の面積を求める際に用いられる数学の公式です。この公式は、四角形の四つの辺の長さと、対角に位置する二つの角のうちの一組の角度を用いて面積を表現します。

この公式は、特に円に内接する四角形に適用されるブラーマグプタの公式を一般化したものとして知られています。これにより、円に内接するという特別な条件を持たない四角形であっても、その面積を計算することが可能になります。公式の名前は、19世紀ドイツの数学者であるカール・アントン・ブレートシュナイダー（1808-1878）に敬意を表して名付けられました。

四角形の辺の長さをそれぞれ `p`, `q`, `r`, `s` とし、その半周長を `T = (p + q + r + s) / 2` とします。また、四角形の対角にある二つの角を `A` と `C` とすると、ブレートシュナイダーの公式は面積 `S` を以下のように与えます。

S = √((T − p)(T − q)(T − r)(T − s) − pqrs cos²((A + C) / 2))

ここで `√` は平方根、`cos²` は余弦（コサイン）の二乗を表します。

証明の概要

ブレートシュナイダーの公式の導出は、基本的な幾何学と三角法の原理に基づいています。一般的な証明の概要は以下の通りです。

1. まず、対象となる四角形を一つの対角線で二つの三角形に分割します。四角形の面積は、これら二つの三角形の面積の合計として表せます。
2. 三角形の面積は、二辺の長さとその間の角のサイン（正弦）を用いて計算できます（例: 1/2 辺1 辺2 sin(角)）。これにより、四角形の面積を四辺の長さと対角線で分けられた二つの角（四角形の一組の対角A, Cに関連）を用いて表現します。
3. 次に、分割に用いた対角線の長さを、それぞれの三角形に対して余弦定理を用いて二通りの方法で表現します。これにより、四辺の長さと角Aおよび角Cのコサインの関係式が得られます。
4. 先の面積の式を二乗したものと、余弦定理から得られた関係式を適切に組み合わせ、三角関数の基本的な恒等式や倍角の公式などを利用して式変形を進めます。
5. 複雑な代数計算と三角関数の操作を経て、面積の二乗 `S²` が、四辺の長さと対角の角度のコサインを含む項で表される形に整理されます。
6. この `S²` の表現に、四角形の半周長 `T` を導入して整理すると、最終的にブレートシュナイダーの公式の形が得られます。

この証明は、どのような四角形であっても辺と角の関係が成り立つことを利用しており、公式の一般性を示しています。

関連する公式

ブレートシュナイダーの公式は非常に一般的であり、特定の条件を持つ四角形に適用すると、より単純な有名な面積公式が得られます。

ブラーマグプタの公式: 円に内接する四角形の場合、対角の和 `A + C` は180度（πラジアン）になります。したがって、`(A + C) / 2` は90度（π/2 ラジアン）となり、`cos((A + C) / 2)` は0となります。このとき、ブレートシュナイダーの公式の `cos²` を含む項はゼロになり、公式は `S = √((T − p)(T − q)(T − r)(T − s))` となります。これがブラーマグプタの公式であり、円に内接する四角形の面積を与えます。

円に外接する四角形の面積公式: 円に外接する四角形（接線四角形）の場合、対辺の和が等しいという性質 `p + r = q + s` が成り立ちます。この性質から、半周長 `T` を用いると `T - p = r`, `T - r = p`, `T - q = s`, `T - s = q` のような関係が導かれます。この性質をブレートシュナイダーの公式に適用すると、`S = √(pqrs) sin((A + C) / 2)` という形に変形できます。これは円に外接する四角形の面積公式の一つです。

双心四角形の面積公式: 双心四角形は、円に内接すると同時に円に外接する四角形です。この場合、ブラーマグプタの公式と円に外接する四角形の性質の両方が成り立つため、公式は最も単純な `S = √pqrs` となります。

ヘロンの公式: ブレートシュナイダーの公式において、もし四角形の一辺の長さがゼロであると仮定する（例: `s = 0`）と、その四角形は三角形と見なすことができます。このとき、半周長は三角形の三辺 `p, q, r` の半周長 `T = (p + q + r) / 2` となります。ブレートシュナイダーの公式に `s = 0` を代入し、三角形の内角に関する性質などを適用して整理すると、三角形の面積公式であるヘロンの公式 `S = √(T(T − p)(T − q)(T − r))` が導かれます。

ブレートシュナイダーの公式は、これらの有名な公式を包括する、非常に強力で一般的な四角形の面積公式と言えます。
計算ツールと言えます。
えます。

参考文献

E. A. José García (2020) Two Identities and their Consequences. MATINF. pp. 5-11.
アーネスト・ウィリアム・ホブソン (1918) A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press.

外部リンク

『ブレートシュナイダーの公式』 - 高校数学の美しい物語
* Weisstein, Eric W. "Bretschneider's formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html

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