プリンプトン322

プリンプトン322は、古代バビロニアの数学に関する最も重要な粘土板の一つとされています。同時期に作られたYBC 7289と並び称され、特に原始ピタゴラス数に関連する記述が含まれていることで知られています。この粘土板は、紀元前1800年頃に作られたと考えられており、古代メソポタミアにおける高度な数学的知識の存在を裏付ける資料として、長らく研究者の関心を集めてきました。

来歴と発見

この粘土板の名称は、コロンビア大学が所蔵するジョージ・A・プリンプトンの収集品の中で、322番目の目録番号が付けられていることに由来します。19世紀初頭以来、メソポタミアでは膨大な数の粘土板が発掘されており、そのうち数千点が数学的な内容を含むものでした。プリンプトン322は、出版業者であったジョージ・A・プリンプトンによって、1922年頃に考古学商のエドガー・J・バンクスから購入されたと伝えられています。その後、1930年代半ばにプリンプトンの他のコレクションと共にコロンビア大学へ遺贈されました。バンクスによれば、この粘土板はイラク南部の古代都市ラルサ（現在のテル・センケレ）で発見されたとされています。

粘土板の年代は、そこに記された楔形文字の書体から推定されています。特に、ラルサで発掘された他の日付が明記された粘土板の書体との比較から、紀元前1822年から1784年の間に作成された可能性が高いと考えられています。また、エレノア・ロブソン氏の研究によると、プリンプトン322の書式は、数学的な文書というよりもむしろ行政文書に典型的に見られる形式に似ていることが指摘されています。

内容と記述形式

プリンプトン322は、一部が欠損していますが、おおよそ幅13cm、高さ9cm、厚さ2cmのサイズです。これはパスポートのサイズ（ISO B7）とほぼ同じくらいです。粘土板の主要な内容は、4つの列と15の行にわたって記された数字の表です。数字はバビロニアで用いられていた60進法で記述されています。最も右の第4列は、単に1から15までの行番号を示しています。第2列と第3列は比較的良好な状態で残っており、完全に読み取ることができます。しかし、最も左の第1列は大部分が欠損しており、その正確な内容は推測に頼らざるを得ません。欠損部分を補うにはいくつかの方法がありますが、それらは主に数字の先頭に「1」を補うかどうかの違いです。

バビロニアの60進法は、各数字が60の何乗を表すかを明示的に示さないため、これらの数字を現代の10進法に正確に換算するには曖昧さが伴います。さらに、現存する4列の左側にも、さらに欠損した列があった可能性も示唆されています。

多様な解釈

プリンプトン322に記された数の表が何を意味するのかについては、長年多くの議論が重ねられてきました。

ピタゴラス数としての解釈

1951年、数学史家のオットー・ノイゲバウアー氏は、この表に記された数がピタゴラス数を構成していることを指摘しました。特に15行のうち13行が原始ピタゴラス数に対応していることを示し、数論的な観点からの解釈を提唱しました。例えば、第11行の数は、辺の比が3:4:5の直角三角形に相似な関係を示していると解釈できます。ノイゲバウアー氏は、各行が特定の性質を持つピタゴラス数から生成されていると考えましたが、どのようにそれらの数が選ばれたのか、またなぜ特定の順番で並べられているのか、そして第1列の数の具体的な数学的意味については十分に説明できませんでした。

三角関数との関連説

1995年には、デイビッド・ジョイス氏が、第1列の数が直角三角形の最短辺に対する角の余弦または正接の2乗を表しており、各行でその角度がおよそ1度ずつ増えているとする三角関数的な解釈を提案しました。しかし、この説は、当時のバビロニア数学の記録に他に同様の概念が見られないことから、時代錯誤的であるという批判も受けました。

教師の練習課題説

現在、最も有力視されているのは、エレノア・ロブソン氏による解釈です。彼女は2002年にアメリカ数学協会（MAA）の論文でこの説を発表し、高く評価されました（MAAは彼女にレスター・R・フォード賞を授与しています）。ロブソン氏は、プリンプトン322が単なる数のリストではなく、「正則な逆数の組」を用いた計算練習のための表であると主張しました。

彼女の解釈は、同じラルサで同時期に発掘された別の粘土板YBC 6967に記された、ある種の二次方程式 (`x - 1/x = C`) の解法に基づいています。この解法では、中間的な変数（v1, v2, v3, v4など）を用いて答えを導き出します。ロブソン氏は、プリンプトン322の各列が、この二次方程式の解法プロセスに現れる特定の値（具体的にはv3, v1, v4）に対応していると解釈しました。そして、この計算の出発点となる「正則数 x」（またはその逆数1/x）が、現存する4列のさらに左にあった欠損した列に、ある順序で並んでいた可能性を指摘しました。

ロブソン氏は、この粘土板の構成や内容が、当時の書記官学校で教えられていた基本的な数学的手法（逆数の計算、幾何学的な分割、平方完成など）を反映していると考えました。作者はプロの書記官であった可能性が高いとしながらも、粘土板の系統的な構成は、むしろ教師が生徒に対して同じ種類の計算問題を繰り返し練習させるために作成した「教師用の問題リスト」に最も近いと結論付けています。生徒は表に記載された中間値や最終的な答えを見て、自分の計算が正しいかを確認することができたのでしょう。これは、YBC 6967に示された解法を用いた計算を15組の異なる数に対して繰り返す練習だったと解釈できます。

その他の議論

近年、プリンプトン322は「短辺、長辺、対角線の長さがすべて自然数であり、かつ互いに素である長方形（原始ピタゴラス数に対応）のリスト」であるという観点からの研究も行われています。特に、古代インドのブラフマグプタによる原始ピタゴラス数の生成式を用いると、プリンプトン322の15行という行数がうまく説明できるという指摘があります。

ただし、表の中には原始ピタゴラス数ではない行（例えば行11や行15）も含まれており、この点についてはさらなる議論が必要です。また、プリンプトン322が古代バビロニアの「算額」のようなもので、書記の神ナブーに捧げられたのではないかといった説や、粘土板の形状が黄金比から白銀比に変更された可能性など、興味深い推測も存在しますが、これらは現時点では学術的な根拠に乏しい風説の域を出ていません。

プリンプトン322は、古代バビロニアの人々がどのような数学に興味を持ち、どのようにそれを学び、教えていたのかを理解する上で、依然として非常に重要な資料であり続けています。その内容の完全な解明に向けて、今後も研究が進められることでしょう。

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