ヘルムホルツの定理

ヘルムホルツの定理について

ヘルムホルツの定理は、ベクトル解析の分野における重要な理論の一つであり、任意のベクトル場を回転のない成分と発散のない成分に分けることができることを示しています。この定理は、ドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツにちなんで名付けられました。

定理の概要

この定理によれば、任意の3次元のベクトル場 F(x) が、スカラーポテンシャル φ(x) とベクトルポテンシャル A(x) を用いて次のように表現できます。

$$
F = -
abla oldsymbol{φ} +
abla imes oldsymbol{A}
$$

ここで、∇はナブラ演算子を示し、勾配と回転の概念を用いることで、元のベクトル場を分解します。この分解の過程では、スカラーポテンシャル φ の前に負号がついていますが、これは物理的意味に基づいたものです。興味深い点は、φ および A の選び方には一意性がなく、任意の定数を加えることが可能であるということです。

ヘルムホルツ分解の自由度

さらに、定理には他の場 ψ(x) や B(x) を加える自由度も存在します。具体的には、以下の方程式が成り立つ場を選ぶことができ、これを用いて更なる自由度を持たせることが可能です。

$$
0 = -
abla ψ(x) +
abla imes B(x)
$$

たとえば、φ に Δψ = 0 を満たす調和関数 ψ を追加したり、A にそれを打ち消す項を加える手法が考えられます。

スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル

応用の面では、一般的に利用されるスカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A の具体的な定義は以下のようになります。

$$
φ(x) = rac{1}{4π}
igg(
∫rac{
abla' ullet F(x')}{|x' - x|}
dV
igg)
$$

$$
A(x) = rac{1}{4π}
igg(
∫rac{
abla' imes F(x')}{|x' - x|}
dV
igg)
$$

この体積分が定義されるためには、ベクトル場 F(x) が遠くで十分に速く0に近づく必要があります。

渦なしと発散なしの成分

元のベクトル場 F は、渦のないベクトル場 FL と発散しないベクトル場 FT に分解することができ、それぞれの成分は次のように表されます。FL は縦成分、FT は横成分として知られています。特に、フーリエ変換においては、縦成分と横成分はそれぞれ特定の波数ベクトル内での特性を持ちます。

これにより、元のベクトル場 F のフーリエ変換は、波数 k に平行な成分 FL(k) と直交する成分 FT(k) に分解できることが確認されます。

注意点

最後に、これらの性質が示すのは、波数空間における特性であり、実空間での特質とは異なる点です。また、フーリエ変換を行う際の紐付けも理解しておくことが重要です。これにより、ヘルムホルツの定理は、物理学における多くの応用において基盤となる理論を提供しています。

参考文献

• - 岩堀長慶『ベクトル解析』裳華房、1960年。
• - 太田浩一『マクスウェル理論の基礎　相対論と電磁気学』東京大学出版会、2002年。

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